Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia – 1 Parâmetro

Hamilton Luiz Guidorizzi, Um curso de cálculo Volume II, 5ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2001, p. 225, exercício 21

Seja

g t = f 3 t 2 , t 3 , e 2 t

Suponha

∂ f ∂ z 0,0 , 1 = 4

  1. Expresse g ' ( t ) em termos das derivadas parciais de f
  2. Calcule g ' ( 0 )

Passo 1

a )

O que temos ai é:

f = f x , y , z

x t = 3 t 2

y t = t 3

z t = e 2 t

⇒ g t = f x t , y t , z t

Então, pelo caso I da Regra da Cadeia, sabemos que

d g d t = ∂ f ∂ x ⋅ d x d t + ∂ f ∂ y ⋅ d y d t + ∂ f ∂ z ⋅ d z d t

Então

g ' t = 6 t . ∂ f ∂ x + 3 t 2 . ∂ f ∂ y + 2 e 2 t . ∂ f ∂ z

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b )

Calcular x e y correspondentes a t = 0 :

x t = 3 t ² ⇒ x 0 = 3 . ( 0 ) ² = 0

  y t = t ³ ⇒ x 0 = 0 ³ = 0

z t = e 2 t ⇒ z 0 = e 2.0 = 1

Então x = 0 , y = 0 e z = 1 quando t = 0 .

Passo 3

Agora, precisaríamos calcular o gradiente de f , mas não temos a expressão dela e a questão só nos dá

∂ f ∂ z 0,0 , 1 = 4

Já vimos que esse é o ponto correspondente a t = 0 , então tá beleza.

Agora repara que ele pede a derivada de g quando t = 0 e pela expressão que achamos para g ' ( t ) na letra a , as componentes da derivada de f que nós não sabemos estão sendo multiplicadas por t . Então, quando substituirmos t = 0 elas vão desaparecer. Logo, não precisamos nos preocupar com elas.

Passo 4

Assim, temos:

g ' 0 = 6.0 . ∂ f ∂ x 0,0 , 1 + 3 . ( 0 ) ² . ∂ f ∂ y 0,0 , 1 + 2 e 2.0 . ∂ f ∂ z 0,0 , 1

g ' 0 = 2.1 . 4 = 8

Resposta

  1. g ' t = 6 t . ∂ f ∂ x + 3 t 2 . ∂ f ∂ y + 2 e 2 t . ∂ f ∂ z
  2. g ' 0 = 8

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