Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia – 1 Parâmetro

Seja f   : R 2 \ { ( 0,0 ) }   → R uma função diferenciável. Suponha que exista n > 1 tal que f t x , t y = t n f ( x , y ) para todo t ≠ 0 e ( x , y ) ∈ R 2 \ { ( 0,0 ) } . Então, para todo x 0 , y 0 ) ∈ R 2 \ { ( 0,0 ) } , vale

  1. x 0 , y 0 ∙ ∇ f x 0 , y 0 = n f ( x 0 , y 0 )
  2. x 0 , y 0 ∙ ∇ f x 0 , y 0 = n 2 f x 0 , y 0
  3. x 0 , y 0 ∙ ∇ f x 0 , y 0 = 0
  4. x 0 , y 0 ∙ ∇ f x 0 , y 0 = x 0 f x 0 , y 0 + y 0 f x 0 , y 0
  5. x 0 , y 0 ∙ ∇ f x 0 , y 0 = x 0 n f x 0 , y 0 + y 0 n f x 0 , y 0

Passo 1

Derivando f t x , t y em relação a t , pela regra da cadeia, temos

d f d t = ∂ f ∂ x ∂ x ∂ t + ∂ f ∂ y ∂ y ∂ t

Sendo

x ( t ) = t x

y t = t y

Temos

d f d t = ∂ f ∂ x x + ∂ f ∂ y y

E isso é a mesma coisa que

∇ f t x , t y ∙ ( x , y )

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora, se derivarmos direto em relação a t , levando em consideração a expressão de f :

f t x , t y = t n f ( x , y )

Ficamos com

f ' t x , t y = n t n - 1 f ( x , y )

Passo 3

O que fizemos nos dois passos anteriores foi derivar nossa f em relação a t , portanto, podemos dizer que os dois resultados que achamos são iguais. Assim

∇ f t x , t y ∙ x , y = n t n - 1 f ( x , y )

Agora, se fizermos t = 1 , temos

∇ f x , y ∙ x , y = n t 1 - 1 f x , y = n f ( x , y )

No ponto ( x 0 , y 0 ) :

∇ f x 0 , y 0 ∙ x 0 , y 0 = n f ( x 0 , y 0 )

Resposta

L e t r a   a

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