Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia – 1 Parâmetro

UFPE, Cálculo 2, 1°EE, 2013.1, questão 3

Suponha que z = f x , y , onde f : R 2 → R é uma função diferenciável verificando

4 y ∂ f ∂ x x , y - x ∂ f ∂ y x , y = 2

Mostre que f é uma função de primeiro grau sobre a elipse x 2 4 + y 2 = 1  

Sugestão: Use a parametrização da elipse x = 2 c o s θ , y = s e n θ .

Passo 1

Como queremos mostrar que f é uma função do primeiro grau sobre a elipse, vamos começar usando a sugestão e parametrizando a elipse.

x = 2 c o s θ

y = s e n θ

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Porém se f está sobre a elipse, então os valores de x e y são dados pela parametrização da elipse. Vamos ter:

z = f x , y = f 2 c o s θ , s e n θ = g θ

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada dessa função g θ :

d g θ d θ = ∂ f ∂ x ∂ x ∂ θ + ∂ f ∂ y ∂ y ∂ θ

Lembrando que:

∂ x ∂ θ = - 2 s e n θ

∂ y ∂ θ = c o s θ

Substituindo:

d g θ d θ = ∂ f ∂ x - 2 s e n θ + ∂ f ∂ y c o s θ

Ajeitando:

d g θ d θ = - 1 2 ∂ f ∂ x 4 s e n θ - ∂ f ∂ y 2 c o s θ

Passo 4

Substituindo x = 2 c o s θ , y = s e n θ , vai ficar:

d g θ d θ = - 1 2 ∂ f ∂ x 4 y - ∂ f ∂ y x

Porém o problema ainda diz que

4 y ∂ f ∂ x x , y - x ∂ f ∂ y x , y = 2

Substituindo:

d g θ d θ = - 1 2 2 = - 1

Logo, g θ = - θ + C . Ou seja, provamos que a f 2 c o s θ , s e n θ = g θ

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas

Muita matéria pra estudar?

Dexter Estudando

Cadastre-se para acessar os Resumões Gratuitos

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas