Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia – 1 Parâmetro

Ver Teoria

Enunciado

A intensidade de um campo elétrico no plano x y é dada por uma função diferenciável E :   R 2 → R . Uma partícula de prova passeia ao longo da curva γ t = t 2 + 1 ,   3 t ,   t ∈ [ 0 ,   + ∞ [ . Sabendo que ∂ E ∂ x 10 ,   9 = 3 e ∂ E ∂ y 10 ,   9 = - 8 , a taxa de variação da intensidade do campo que a partícula experimenta no instante t = 3 de seu movimento é de:

a) - 6 .

b) 10 .

c) 6 .

d) - 10 .

e) 0 .

Passo 1

Fala galera, partiu fazer mais esse probleminha da POLI?

O enunciado fala que o campo elétrico E x ,   y é uma função de duas variáveis e queremos saber como esse campo varia especificamente ao longo da curva γ t = t 2 + 1 ,   3 t . Para isso, note que nessa curva

x t = t 2 + 1               e             y t = 3 t

Assim, se fizermos a composta de E com γ , obtemos uma função f t de uma única variável:

f t = E γ t = E t 2 + 1 ,   3 t

Derivando pela regra da cadeia:

d f d t t = ∂ E ∂ x d x d t + ∂ E ∂ y d y d t

Como

d x d t = 2 t               e           d y d t = 3

temos que

d f d t t = 2 t ∂ E ∂ x t 2 + 1 ,   3 t + 3 ∂ E ∂ y t 2 + 1 ,   3 t

Passo 2

Agora é só substituir t = 3 :

d f d t 3 = 6 ∂ E ∂ x 10 ,   9 + 3 ∂ E ∂ y 10 ,   9

Pelas informações do enunciado: ∂ E ∂ x 10 ,   9 = 3 e ∂ E ∂ y 10 ,   9 = - 8 . Assim,

d f d t 3 = 6 ⋅ 3 + 3 ⋅ - 8 = 1 8 - 24 = - 6

Essa é a taxa de variação do campo, ao longo da curva, em t = 3 ! Com isso chegamos na alternativa A 😊

Resposta

Alternativa A.

Exercícios de Livros Relacionados

7-12. Use a Regra da Cadeia para achar (del z)/(del s) e (del z)/(del t) .9. z = ln (3 x + 2 y) , x = s . s e n t , y = t . cos s
Calcule (d z)/(d t) usando a regra da cadeia:z = y e^x + x e^y , x = cos t , y = sin t .
Seja z = x y , onde x = f ( u ) e y = g ( u ) . Supondo f e g diferenciáveis, f 1 = 2 , g 1 = - 2 , d x d u 1 = - 1 e d y d u 1 = 5 , calcule d z d u ( 1 ) .