Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia – 1 Parâmetro

PUC-RIO, Cálculo II, G4 VE1 2015.1, questão 1c

Seja f x , y , z = x 2 + 3 y 2 + z 2 - 2 x y

c) Considere a curva espacial α t = x t ,   y t , z t . Calcule a derivada da função g t = f x t , y t , z t , quando t = t 0 , ou seja, g ' t 0 sabendo-se que:

x t 0 = 1   , y t 0 = 2   , z t 0 = - 1

x ' t 0 = 2   ,   y ' t 0 = 2   ,   z ' t 0 = 1

Passo 1

c) Pela regra da cadeia temos:

d f d t = ∂ f ∂ x ⋅ d x d t + ∂ f ∂ y ⋅ d y d t + ∂ f ∂ z ⋅ d z d t

Calculando o gradiente de f , temos:

∇ f x , y , z = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y , ∂ f ∂ z = 2 x - 2 y ,   6 y - 2 x , 2 z

No ponto dado:

x t 0 , y t 0 , z t 0 = 1,2 , - 1

∇ f x , y , z = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y , ∂ f ∂ z = - 2 ,   10 , - 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Substituindo:

d f d t = ∂ f ∂ x ⋅ d x d t + ∂ f ∂ y ⋅ d y d t + ∂ f ∂ z ⋅ d z d t

d f d t = - 2 ⋅ 2 + 10 ⋅ 2 + - 2 ⋅ 1

d f d t = 10 2 - 6

Resposta

c) d f d t = 10 2 - 6

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