Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia – 1 Parâmetro

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Enunciado

(Cap 14.5 – Ex 3) Use a regra da cadeia para achar d z / d t .

z = 1 + x 2 + y 2 ,             x = ln ⁡ t             e           y = cos ⁡ t

Passo 1

A questão pede para usarmos a regra da cadeia para encontrar d z / d t . Note que z é uma função de x e y , que são, por sua vez, funções de t . Então, na realidade, z é função do tempo apenas!

Assim, pela regra da cadeia:

d z d t = ∂ z ∂ x ⋅ d x d t + ∂ z ∂ y ⋅ d y d t

As derivadas parciais de z são

∂ z ∂ x = x 1 + x 2 + y 2

∂ z ∂ y = y 1 + x 2 + y 2

Passo 2

Já as derivadas de x e y com relação a t são:

d x d t = 1 t

d y d t = - s e n   t

Portanto,

d z d t = x 1 + x 2 + y 2 ⋅ 1 t - y 1 + x 2 + y 2 ⋅ s e n   t

Logo,

d z d t = 1 1 + x 2 + y 2 x t - y   s e n   t

Resposta

d z d t = 1 1 + x 2 + y 2 x t - y   s e n   t

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7-12. Use a Regra da Cadeia para achar ∂ z ∂ s e ∂ z ∂ t .9. z = ln ⁡ 3 x + 2 y ,x = s . s e nt , y = t . cos ⁡ s
Calcule ∂ z ∂ u e ∂ z ∂ v usando a regra da cadeia: z = x 2 y , x = u v , y = u ⋅ e v
Calcule d z d t usando a regra da cadeia: z = y e x + x e y , x = cos ⁡ t , y = sin ⁡ t .