Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia – 1 Parâmetro

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Enunciado

Seja g t = f ( 3 t 2 , t 3 , e 2 t ) . Suponha que ∂ f ∂ z 0,0 , 1 = 4 . Determine o valor de g ' 0 .

Escolha uma opção:

  1. 4
  2. 0
  3. -1
  4. 8
  5. e

Passo 1

Fala galera, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas estou aqui para te ajudar! Vamos resolver juntos?

Temos uma função g que tem 3 componentes e cada uma delas está escrita em termos do parâmetro t.

Sendo assim, podemos admitir que f está em função de x,y e z e que essas três variáveis estejam por sua vez em termos de t.

O que o problema pede é a derivada de g em um ponto. Então aqui vamos utilizar a regra da cadeia quando temos 1 parâmetro.

Eu pensei em usar isso pois queremos a derivada de uma função no qual as variáveis dentro dela estão em função e um parâmetro. Beleza?

Passo 2

Passo 3

Nossa função é:

g x t ,   y t ,   z t = f ( 3 t 2 , t 3 , e 2 t )

Então x t = 3 t 2 , y t = t 3 e z t = e 2 t .

Beleza?

Então, pelo caso I da Regra da cadeia (caso 1 é com 1 parâmetro), sabemos que:

g ' t = ∂ f ∂ x . d x d t + ∂ f ∂ y . d y d t + ∂ f ∂ z . d z d t

E depois aplicamos no ponto dado, que no nosso caso é t = 0 .

Passo 4

Agora vamos calcular as derivadas:

x t = 3 t 2 , d x d t = 6 t

E a derivada de x aplicada em t = 0 :

d x d t 0 = 6.0 = 0

Agora o y :

y t = t 3 , d y d t = 3 t 2

E a derivada de y aplicada em t = 0 :

d y d t 0 = 3 . 0 2 = 0

E agora o z :

z t = e 2 t , d z d t = 2 e 2 t

E a derivada de z aplicada em t = 0 :

d z d t 0 = 2 e 0 = 2

Como não conhecemos a função f , não conseguimos achar as derivadas dela em relação a x e a y, mas temos que ∂ f ∂ z 0,0 , 1 = 4 . Mas você sabe que ponto ( 0,0 , 1 ) é esse?

Vamos fazer t = 0 nas funções de x,y, z:

x 0 = 3.0 2 = 0

y 0 = 0 3 = 0

z 0 = e 2.0 = 1

Opa! É justamente o ponto que temos quando substituímos t = 0 nas expressões. E é nesse ponto que o problema pede que calculemos a derivada de g , então tá tudo bem!

Passo 5

Embora não saibamos ∂ f ∂ x e ∂ f ∂ y , a gente ainda pode calcular a derivada de g . Saca só lá da regra da cadeia:

g ' t = ∂ f ∂ x . d x d t + ∂ f ∂ y . d y d t + ∂ f ∂ z . d z d t

A gente não multiplica ∂ f ∂ x por d x d t aplicado no ponto? Como d x d t ( 0 ) é zero, esse termo todo vai zerar! A mesma coisa acontece com o termo ∂ f ∂ y . d y d t . ele zera porque d y d t 0 = 0 . Aí só sobra o termo com a derivada em z , e pra esse temos quanto vale a parcial de f .

Substituindo na regra da cadeia temos:

g ' 0 = ∂ f ( 0,0 , 1 ) ∂ x . d x ( 0 ) d t + ∂ f ( 0,0 , 1 ) ∂ y . d y ( 0 ) d t + ∂ f ( 0,0 , 1 ) ∂ z . d z ( 0 ) d t

Sabendo que ∂ f ∂ z 0,0 , 1 = 4 , então agora é só substituir:

g ' 0 = ∂ f ( 0,0 , 1 ) ∂ x . 0 + ∂ f ( 0,0 , 1 ) ∂ y . 0 + 4.1 . 2 = 8

Então a alternativa correta é a (d)

Resposta

d

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7-12. Use a Regra da Cadeia para achar (del z)/(del s) e (del z)/(del t) .9. z = ln (3 x + 2 y) , x = s . s e n t , y = t . cos s
Calcule (d z)/(d t) usando a regra da cadeia:z = y e^x + x e^y , x = cos t , y = sin t .
Seja z = x y , onde x = f ( u ) e y = g ( u ) . Supondo f e g diferenciáveis, f 1 = 2 , g 1 = - 2 , d x d u 1 = - 1 e d y d u 1 = 5 , calcule d z d u ( 1 ) .