Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia – 1 Parâmetro

UFF, Cálculo IIB, Listas GMA, Lista 6, exercício 1.

Se

f x , y = e x y

g t = cos ⁡ t

h t = sen ⁡ t

E

F t = f g t , h t

Calcule F ' ( 0 )

Passo 1

Clássico de regra da cadeia – 1 parâmetro!

Veja só, temos

f x , y = e x y

g t = x ( t ) = cos ⁡ t

h t = y ( t ) = sen ⁡ t

F t = f x t , y t

Tudo o que temos que fazer é calcular as derivadas parciais e substituir na fórmula

d F d t = ∂ f ∂ x ⋅ d x d t + ∂ f ∂ y ⋅ d y d t

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Mãos à obra no cálculo dessas derivadas parciais!

∂ f ∂ x = e x y . y = y e x y

∂ f ∂ y = e x y . x = x e x y

d x d t = - sen ⁡ t

d y d t = cos ⁡ t

Passo 3

Substituindo tudo:

d F d t = ∂ f ∂ x ⋅ d x d t + ∂ f ∂ y ⋅ d y d t

d F d t = y e x y ⋅ ( - sen ⁡ t ) + x e x y ⋅ cos ⁡ t

d F d t = e x y ( - y sen ⁡ t + x cos ⁡ t )

Passo 4

Agora vamos calcular os valores de x e y correspondentes a t = 0 :

x 0 = cos ⁡ 0 = 1

y 0 = sen ⁡ 0 = 0

Passo 5

Finalmente, calculando a derivada:

d F d t 0 = F ' 0 = e 1.0 - 1 sen ⁡ 0 + 1 cos ⁡ 0 = 1 0 + 1 = 1

Resposta

F ' ( 0 ) = 1

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