Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia – 1 Parâmetro

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Enunciado

Use a Regra da Cadeia e calcule d z / d t (em função da variável t ).

z x , y = x 2 + y 2 ,     x t = e 2 t   e   y t = e - 2 t

Passo 1

Fala aí galera, bora resolver o nosso exercício? Vamos lá.

Primeiro, vamos destacar aqui as informações que já temos

z x , y = x 2 + y 2

x t = e 2 t

y t = e - 2 t

E o enunciado pede para a gente calcular:

d z d t t

Porém, reparem que a nossa função não está em função de t . Então aqui teremos que fazer a nossa regra da cadeia. Para isso, vamos usar a seguinte relação:

d z d t = d z d x × d x d t + d z d y × d y d t

Passo 2

Show, vamos começar calculando cada derivada. Começando pela função z :

d z d x = x x 2 + y 2

d z d y = y x 2 + y 2

Agora calculando as derivadas da função x t   e   y ( t ) :

d x d t = 2 e 2 t

d y d t = - 2 e - 2 t

Jogando tudo na fórmula:

d z d t = x x 2 + y 2 × 2 e 2 t + y x 2 + y 2 × - 2 e - 2 t

Ok, mas ainda não acabamos. Reparem que ainda temos x e y na função. Vamos ter que substituir:

d z d t = e 2 t e 2 t 2 + e - 2 t 2 × 2 e 2 t + e - 2 t e 2 t 2 + e - 2 t 2 × - 2 e - 2 t

d z d t = 2 e 4 t - 2 e - 4 t e 4 t + e - 4 t

Resposta

d z d t = 2 e 4 t - 2 e - 4 t e 4 t + e - 4 t

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7-12. Use a Regra da Cadeia para achar (del z)/(del s) e (del z)/(del t) .9. z = ln (3 x + 2 y) , x = s . s e n t , y = t . cos s
Calcule (d z)/(d t) usando a regra da cadeia:z = y e^x + x e^y , x = cos t , y = sin t .
Seja z = x y , onde x = f ( u ) e y = g ( u ) . Supondo f e g diferenciáveis, f 1 = 2 , g 1 = - 2 , d x d u 1 = - 1 e d y d u 1 = 5 , calcule d z d u ( 1 ) .