Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia – 1 Parâmetro

Seja G ( x , y ) uma função diferenciável em R 2 tal que

G t 3 - t - 1 cos ⁡ t 2 - 1 , 1 - 2 t 2 = t 3 - t 2 - t

Para todo t ∈ R .

Assinale a alternativa da direção e sentido de maior variação da função G no ponto ( 1 , - 1 ) :

  1. ( 1,1 )
  2. - 1 2 , 1
  3. 1 , 1 2
  4. - 1 , - 1
  5. 1 2 , - 1

Passo 1

A direção e sentido de maior variação de uma função são dadas pela direção e sentido do vetor gradiente!

E para encontrar o vetor gradiente da nossa função G no ponto ( 1 , - 1 ) vamos ter que usar a regrinha da cadeia, já que G é uma função composta, onde

G ( x , y )

x = x t = t 3 - t - 1 cos ⁡ t 2 - 1

y = y t = 1 - 2 t 2

Pela regra da cadeia, temos:

d G d t = ∂ G ∂ x ⋅ d x d t + ∂ G ∂ y ⋅ d y d t

Vamos ver os termos que a gente consegue calcular e substituir aí.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Sabemos que

x = x t = t 3 - t - 1 cos ⁡ t 2 - 1

Assim, pela regra do produto e da cadeia,

d x d t = 3 t 2 - cos ⁡ t 2 - 1 + t - 1 2 t sin ⁡ t 2 - 1

Além disso, sabemos também que

y = y t = 1 - 2 t 2

Então,

d y d t = - 4 t

Outra coisa que sabemos é a definição de G em função de t :

G t = t 3 - t 2 - t

O que significa que dá pra gente calcular diretamente a derivada d G d t .

d G d t = 3 t 2 - 2 t - 1

Passo 3

Com isso, podemos substituir esses três termos que acabamos de achar na fórmula da regra da cadeia do passo 1 e o que sobra são justamente as derivadas parciais de G em relação a x e em relação a y , que é nada mais nada menos que o vetor gradiente de G que a gente quer descobrir

d G d t = ∂ G ∂ x ⋅ d x d t + ∂ G ∂ y ⋅ d y d t

3 t 2 - 2 t - 1 = ∂ G ∂ x ⋅ 3 t 2 - cos ⁡ t 2 - 1 + t - 1 2 t sin ⁡ t 2 - 1 + ∂ G ∂ y ⋅ - 4 t

Passo 4

Mas precisamos nos atentar a um detalhe: queremos saber o ∇ G ( 1 , - 1 ) . Com isso, precisamos descobrir qual o valor de t quando x = 1 e y = - 1 .

Para isso,

x = x t = t 3 - t - 1 cos ⁡ t 2 - 1 = 1

y = y t = 1 - 2 t 2 = - 1

Resolvendo esse sistema, tiramos que

t = ± 1

Passo 5

Substituindo t = 1 em

3 t 2 - 2 t - 1 = ∂ G ∂ x ⋅ 3 t 2 - cos ⁡ t 2 - 1 + t - 1 2 t sin ⁡ t 2 - 1 + ∂ G ∂ y ⋅ - 4 t

Temos

3 ( 1 ) 2 - 2 ( 1 ) - 1 = ∂ G ∂ x ⋅ 3 ( 1 ) 2 - cos ⁡ ( 1 ) 2 - 1 + 1 - 1 2 ( 1 ) sin ⁡ ( 1 ) 2 - 1 + ∂ G ∂ y ⋅ - 4 ( 1 )

0 = ∂ G ∂ x ⋅ 3 - cos ⁡ 0 + 0 - 4 ∂ G ∂ y

2 ∂ G ∂ x - 4 ∂ G ∂ y = 0

Substituindo t = - 1 em

3 t 2 - 2 t - 1 = ∂ G ∂ x ⋅ 3 t 2 - cos ⁡ t 2 - 1 + t - 1 2 t sin ⁡ t 2 - 1 + ∂ G ∂ y ⋅ - 4 t

Temos

3 ( - 1 ) 2 - 2 ( - 1 ) - 1 = ∂ G ∂ x ⋅ 3 ( - 1 ) 2 - cos ⁡ ( - 1 ) 2 - 1 + - 1 - 1 2 ( - 1 ) sin ⁡ ( - 1 ) 2 - 1 + ∂ G ∂ y ⋅ - 4 ( - 1 )

4 = ∂ G ∂ x ⋅ 3 - cos ⁡ 0 + 0 + 4 ∂ G ∂ y

2 ∂ G ∂ x + 4 ∂ G ∂ y = 4

Formamos então um sistema:

2 ∂ G ∂ x - 4 ∂ G ∂ y = 0

2 ∂ G ∂ x + 4 ∂ G ∂ y = 4

Passo 6

Resolvendo esse sistema, podemos isolar somar as duas equações:

4 ∂ G ∂ x = 4

∂ G ∂ x = 1

Substituindo esse resultado na primeira equação:

2 ( 1 ) - 4 ∂ G ∂ y = 0

∂ G ∂ y = 1 2

Assim,

∇ G 1 , - 1 = ∂ G ∂ x , ∂ G ∂ y = 1 , 1 2  

E essa é a direção e o sentido de maior variação da função G no ponto ( 1 , - 1 )

Resposta

L e t r a   c

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