Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia – 1 Parâmetro

UFRJ, Cálculo 2, PF 2016.1, questão 10

Sendo ϕ t uma função diferenciável, qual igualdade se verifica para a função z = y 2 3 x + ϕ x y ?

a y 2 ∂ z ∂ x + x y ∂ z ∂ y + y 2 = 0

b ∂ z ∂ x + x ∂ z ∂ y + x 2 = 0

c x 2 ∂ z ∂ x - x y ∂ z ∂ y + y 2 = 0

d x 2 ∂ z ∂ x - y ∂ z ∂ y + x y = 0

e x ∂ z ∂ x - y ∂ z ∂ y = 0

Passo 1

Vamos começar analisando essa ϕ t aí! Na nossa função ela aparece como ϕ x y certo? Então podemos dizer que a nossa variável t depende de x e y :

t x , y

Opa, já deu pra notar que vai rolar uma regra da cadeia? Se liga:

∂ ϕ ∂ x = ∂ ϕ ∂ t ∙ ∂ t ∂ x = ϕ ˙ ∙ t x

∂ ϕ ∂ y = ∂ ϕ ∂ t ∙ ∂ t ∂ y = ϕ ˙ ∙ t y

Até aqui beleza? Bom, nesse caso temos que t = x y ! Logo,

t x = y

t y = x

Então:

∂ ϕ x y ∂ x = y ϕ ˙

∂ ϕ x y ∂ y = x ϕ ˙

Beleza, agora que desvendamos esse ϕ vamos para o próximo passo!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora não tem muita escapatória, temos que testar uma a uma . . .

Letra a

y 2 ∂ z ∂ x + x y ∂ z ∂ y + y 2 = 0

y 2 - y 2 3 x 2 + y ϕ ˙ + x y 2 y 3 x + x ϕ ˙ + y 2 = 0

- y 4 3 x 2 + y 3 ϕ ˙ + 2 y 2 3 + x 2 y ϕ ˙ + y 2 = 0

Po, tem um y 4 dividido por um x 2 , um y 2 , enfim, ta uma bagunça! Então essa afirmação aí não vai ser verdade pra qualquer ϕ t . Vamos pra próxima!

Passo 3

∂ z ∂ x + x ∂ z ∂ y + x 2 = 0

- y 2 3 x 2 + y ϕ ˙ + x 2 y 3 x + x ϕ ˙ + y 2 = 0

- y 2 3 x 2 + y ϕ ˙ + 2 y 3 + x 2 ϕ ˙ + y 2 = 0

De novo, um monte de termos com potências diferentes, essa daí é falsa também!

Passo 4

Letra c

x 2 ∂ z ∂ x - x y ∂ z ∂ y + y 2 = 0

x 2 - y 2 3 x 2 + y ϕ ˙ - x y 2 y 3 x + x ϕ ˙ + y 2 = 0

- y 2 3 + x 2 y ϕ ˙ - 2 y 2 3 - x 2 y ϕ y + y 2 = 0

0 = 0

Opa, olha que beleza! Tudo se cortou né! Então essa aqui é a nossa resposta 😉

Resposta

Letra c

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