Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia – 1 Parâmetro

UFRJ, Cálculo 2, P2 2018.1, questão 2

Considere a função

T x , y , z = x 2 + y 2 + z 2

Que mede a temperatura em ° C de um corpo no espaço. Uma partícula percorre a trajetória dada por

σ t = x t , y t , z t

Passando pelo ponto P = ( 1,2 , 2 ) no instante t = 4   m i n com veor velocidade σ ' 4 = ( - 1,2 , - 1 ) . A taxa de variação da temperatura da partícula, quando ela se encontra sobre o ponto P , será:

a 14 ° C / m i n

b 2 ° C / m i n

c 4 ° C / m i n

d 8 ° C / m i n

e 6 ° C / m i n

Passo 1

Quando a partícula está sobre o ponto P , ela tem vetor velocidade igual a σ ' 4 = ( - 1,2 , - 1 ) . Assim, a taxa de variação da temperatura da partícula quando ela se encontra sobre P será a derivada da função T ( x , y , z ) .

Acontece que, se você reparar, T é uma função de x , y , z , mas x , y , z são funções de t , assim, temos uma função composta

T σ t

E para derivar função composta, a gente usa a regra da cadeia. Nesse caso, com 1 parâmetro só, pois nossas variáveis são funções de apenas uma variável ( t ) .

Vamos lá: a fórmula da regra da cadeia é:

d T d t = ∇ T ⋅ σ ' t

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Calculando o gradiente de T :

T x , y , z = x 2 + y 2 + z 2

∇ T x , y , z = ( 2 x , 2 y , 2 z )

Substituindo no ponto P = ( 1,2 , 2 ) :

∇ T 1,2 , 2 = ( 2.1,2.2,2.2 )

∇ T 1,2 , 2 = ( 2,4 , 4 )

Passo 3

Agora faltaria calcular o vetor σ ' ( t ) e depois substituir o ponto P = ( 1,2 , 2 ) , mas a questão já foi boazinha com a gente (milagre) e já nos deu esse vetor:

σ ' 4 = ( - 1,2 , - 1 )

Passo 4

Substituindo tudo na fórmula do passo 1:

d T d t = ∇ T ⋅ σ ' t

d T d t 1,2 , 2 = ( 2,4 , 4 ) . ( - 1,2 , - 1 )

d T d t 1,2 , 2 = 2 . - 1 + 4 . 2 + 4 . - 1

d T d t 1,2 , 2 = - 2 + 8 - 4

d T d t 1,2 , 2 = 2

Resposta

Letra b

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas

Muita matéria pra estudar?

Dexter Estudando

Cadastre-se para acessar os Resumões Gratuitos

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas