Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia – 1 Parâmetro

UFRJ, Cálculo 2, P2 2009.1, questão 3, item a

Seja T ( x , y , z ) uma função diferenciável e suponha que ela representa a temperatura em graus Celsius em cada ponto de uma sala (as dimensões x , y e z são medidas em metros). Suponha ainda que T possui as seguintes propriedades:

T 5,4 , 2 = 30 °   ; ∂ T ∂ x 5,4 , 2 = 3 ° / m ;   ∂ T ∂ y 5,4 , 2 = - 1 ° / m ;   ∂ T ∂ z 5,4 , 2 = 1 ° / m

Uma mosca está voando por esta sala.

Se a posição em cada instante t (dado em segundos) for representada pelo caminho

x = t 2 + 1

y = 2 t

z = 10 - t 3

Determine a taxa de variação da temperatura em relação ao tempo neste caminho, no instante t = 2 segundos.

Passo 1

Calcular gradiente da função:

Não temos a função, mas o problema nos fornece os valores das derivadas parciais em um ponto:

∇ T 5,4 , 2 = ∂ T ∂ x 5,4 , 2 , ∂ T ∂ y 5,4 , 2 , ∂ T ∂ z 5,4 , 2  

⇒ ∇ T 5,4 , 2 = 3 , - 1,1

Como o enunciado pede a taxa de variação em t = 2 , muito provavelmente, esse ponto corresponde a t = 2 .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Definir função vetorial:

Vamos definir σ t = x t , y t , z t

Então:

σ t = t 2 + 1,2 t ,   10 - t 3  

Passo 3

Derivar parametrização:

σ ' t = d x d t , d y d t , d z d t

⇒ σ ' t = 2 t ,   2 ,   - 3 t 2

Passo 4

Calcular x , y e z correspondentes a t = 2 :

x t = t 2 + 1 ⇒ x 2 = 2 2 + 1 = 5

  y t = 2 t ⇒ y 2 = 2 2 = 4

z t = 10 - t 3 ⇒ z 2 = 10 - 2 3 = 10 - 8 = 2

Então x = 5 , y = 4 e z = 2 quando t = 2 .

Logo, o ponto 5,4 , 2 realmente corresponde a t = 2 e por isso mesmo que o problema forneceu as derivadas parciais nesse ponto.

Passo 5

Calcular gradiente nesse ponto:

Já foi feito no primeiro passo:

  ∇ T 5,4 , 2 = 3 , - 1,1

Passo 6

Calcular derivada em t = 2 :

σ ' t = 2 t ,   2 ,   - 3 t 2

⇒ σ ' 2 = 2 2 ,   2 ,   - 3 2 2

⇒ σ ' t = 4,2 , - 12

Passo 7

Agora é só fazer o produto escalar:

d z d t = ∇ z   ⋅ σ ' t

⇒ d z d t = 3 , - 1,1   ⋅ 4,2 , - 12

⇒ d z d t = ( 3 ) 4 + - 1 2 + 1 ( - 12 )

⇒ d z d t = 12 - 2 - 12

⇒ d z d t = - 2

Resposta

A taxa de variação é de - 2 ° C / s após 2 segundos.

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