Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia – 1 Parâmetro

Origem do Exercício

Considere w = f ( x , y , z ) uma função de três variáveis que tem derivadas parciais contínuas ∂ w ∂ x , ∂ w ∂ y , ∂ w ∂ z em algum intervalo e x , y e z são funções de outra variável t .

Então d w d t = ∂ w ∂ x . d x d t + ∂ w ∂ y . d y d t + ∂ w ∂ z . d z d t .

Diz-se que d w d t é a derivada total de w em relação a t e representa a taxa de variação de w à medida que t varia.

Supondo w = x 2 - 3 y 2 + 5 z 2 onde x = e t , y = e - t , z = e 2 t , calcule d w d t sendo t = 0 .

Passo 1

Bom, o enunciado já deu a fórmula que nós precisamos usar:

d w d t = ∂ w ∂ x . d x d t + ∂ w ∂ y . d y d t + ∂ w ∂ z . d z d t

Então aí já temos seis derivadas que precisamos calcular. Por sorte, todas as funções já foram dadas no enunciado.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos começar calculando as derivadas de x ,   y e z em relação a t , lembre de usar a regra da cadeia!

d x d t = d d t e t = e t

d y d t = d d t e - t = d d t - t . d d - t e - t = - e - t

d z d t = d d t e 2 t = d d t 2 t . d d 2 t e 2 t = 2 e 2 t

Ok, meio caminho andado!

Passo 3

Agora vamos calcular as derivadas parciais de ω em relação a x ,   y e z .

∂ w ∂ x = ∂ ∂ x x 2 - 3 y 2 + 5 z 2 = 2 x

Perceba que, quando derivamos em relação a x , todas as outras “variáveis” se comportam como constantes!

∂ w ∂ y = ∂ ∂ y x 2 - 3 y 2 + 5 z 2 = - 6 y

∂ w ∂ z = ∂ ∂ z x 2 - 3 y 2 + 5 z 2 = 10 z

Passo 4

Agora podemos substituir tudo isso na fórmula:

d w d t = ∂ w ∂ x . d x d t + ∂ w ∂ y . d y d t + ∂ w ∂ z . d z d t

d w d t = 2 x e t + - 6 y - e - t + ( 10 z ) ( 2 e 2 t )

Para evitar essa mistura de x , y , z com t , vamos substituir o trio por suas funções de t :

d w d t = 2 ( e t ) e t + - 6 e - t - e - t + ( 10 ) ( e 2 t ) ( 2 e 2 t )

Ok, vamos arrumar um pouco:

d w d t = 2 e 2 t + 6 e - 2 t + 20 e 4 t

E chegamos na fórmula da derivada total! Agora é só substituir o t = 0 :

d w ( 0 ) d t = 2 e 0 + 6 e 0 + 20 e 0 = 2 + 6 + 20 = 28

Resposta

A derivada total de w no ponto t = 0 é 28 .

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