Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia – 1 Parâmetro

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Enunciado

Use a regra da cadeia para achar d d t f ( λ t ) onde f x , y = 2 x 2 + 3 y 2 + 4 x y e λ t = x t , y t = t 2 , cos ⁡ t

Passo 1

Fala aí galera, bora resolver o nosso exercício? Vamos lá.

Primeiro, vamos destacar aqui as informações que já temos

f x , y = 2 x 2 + 3 y 2 + 4 x y

λ t = x t , y t = t 2 , cos ⁡ t

E o enunciado pede para a gente calcular:

d d t f ( λ t )

Porém, reparem que a nossa f não está em funç��o de t . Então aqui teremos que fazer a nossa regra da cadeia. Para isso, vamos usar a seguinte relação:

d f d t = d f d x × d x d t + d f d y × d y d t

Show, vamos começar calculando cada derivada.

Passo 2

Começando pela função f :

d f d x = 4 x + 4 y

d f d y = 6 y + 4 x

Agora calculando as derivadas da função λ ( t ) :

d x d t = 2 t

d y d t = - s e n t

Passo 3

Jogando tudo na fórmula:

d f d t = d f d x × d x d t + d f d y × d y d t

d f d t = ( 4 x + 4 y ) × ( 2 t ) + ( 6 y + 4 x ) × - s e n t

d f d t = 8 x t + 8 y t - 6 y s e n t - 4 x s e n ( t )

Porém, podemos substituir aqui:

x t , y t = t 2 , cos ⁡ t

Ficando:

d f d t = 8 t ³ + 8 t c o s ( t ) - 6 s e n t c o s ⁡ ( t ) - 4 t ² s e n ( t )

Resposta

d f d t = 8 t ³ + 8 t c o s ( t ) - 6 s e n t c o s ⁡ ( t ) - 4 t ² s e n ( t )

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7-12. Use a Regra da Cadeia para achar (del z)/(del s) e (del z)/(del t) .9. z = ln (3 x + 2 y) , x = s . s e n t , y = t . cos s
Calcule (d z)/(d t) usando a regra da cadeia:z = y e^x + x e^y , x = cos t , y = sin t .
Seja z = x y , onde x = f ( u ) e y = g ( u ) . Supondo f e g diferenciáveis, f 1 = 2 , g 1 = - 2 , d x d u 1 = - 1 e d y d u 1 = 5 , calcule d z d u ( 1 ) .