Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia – 1 Parâmetro

Regra da cadeia

Seja f : R 2 ⟶ R uma função cujo gradiente é dado por ∇ f x , y = 2 x y 3 + 3 ,   3 x 2 y 2 - 2 . Considere a curva parametrizada por

x t = t 2   y t = t 3 - t

E a função F definida por F t = f x t , y t . Calcule d F d t 1 .

  1. 2
  2. - 10
  3. 2,2
  4. 10
  5. - 2
  6. 3 , - 2

Passo 1

Calculando a derivada pela regra da cadeia:

d F d t = ∇ f x , y ⋅ σ ' t

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Calcular gradiente da função:

Já foi dado no enunciado:

∇ f x , y = 2 x y 3 + 3 ,   3 x 2 y 2 - 2

Passo 3

Definir função vetorial:

Foi dada pelo enunciado:

σ t = t 2 , t 3 - t

Passo 4

Derivar parametrização:

σ ' t = 2 t , 3 t 2 - 1

Passo 5

Calcular x e y correspondentes a t = 1 :

σ t = t 2 , t 3 - t

⇒ σ 1 = 1 2 , 1 3 - 1

⇒ σ 1 = 1,0

Então x = 1 e y = 0

Passo 6

Calcular gradiente nesse ponto:

∇ f x , y = 2 x y 3 + 3 ,   3 x 2 y 2 - 2

⇒ ∇ f 1,0 = 2 1 0 3 + 3 ,   3 1 2 0 2 - 2

⇒ ∇ f 1,0 = 0 + 3 ,   0 - 2

⇒ ∇ f 1,0 = 3 , - 2

Passo 7

Calcular derivada em t = 1 :

σ ' t = 2 t , 3 t 2 - 1

⇒ σ ' 1 = 2 1 , 3 1 2 - 1

  ⇒ σ ' 1 = 2,2

Passo 8

Agora é só fazer o produto escalar:

d F d t 1 = ∇ f 1,0   ⋅ σ ' 1

⇒ d F d t 1 = 3 , - 2   ⋅ 2,2

⇒ d F d t 1 = 3 2 + - 2 2

⇒ d F d t 1 = 6 - 4

⇒ d F d t 1 = 2

Portanto, a alternativa correta é a letra (a).

Resposta

Alternativa (a).

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas

Muita matéria pra estudar?

Dexter Estudando

Cadastre-se para acessar os Resumões Gratuitos

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas