USP, Sem Campus, Cálculo 2, Listas de Cálculo 2 - USP, Politécnica - Lista 4 - Regra da Cadeia, Vetor Gradiente, Questão 1.6
Seja função de classe em e defina . Verifique que
sendo , por definição dado por .
Passo 1
Eaew, belezinha?
Temos aqui uma função de classe definida em tal que , à esta função está relacionado o seguinte operador laplaciano
precisamos aplicar a mudança de coordenadas
e, demonstrar que o laplaciano se torna
ou seja, vamos usar a regra da cadeia para escrever o laplaciano em coordenadas polares! Bora lá!
Passo 2
Temos que escrever as derivadas parciais, note que , portanto, a derivada parcial
pode ser reescrita usando a regra da cadeia da seguinte maneira
precisamos de expressões para e para conseguirmos calcular esta expressão, note que pela simetria polar, podemos escrever que
e, usando a definição de tangente como
temos que o ângulo pode ser obtido em termos das variáveis originais como
ou simplesmente
Vamos calcular as derivadas agora!
Passo 3
Por enquanto a derivada em relação a está como
usando as relações que obtivemos no passo anterior e derivando, temos que
simplificando e lembrando as definições da variáveis, temos que
ou seja, podemos definir o seguinte operador
de forma que a segunda derivada toma a forma
usando o operador que escrevemos acima, temos que
agora fazendo o produto temos que
Vamos fazer agora um processo análogo para a derivada em !
Passo 4
Queremos calcular
pode ser reescrita usando a regra da cadeia da seguinte maneira
usando as relações para e , e derivando, temos que
onde as identificações são bastante similares ao que fizemos no passo anterior! Identificando o operador derivada como
de forma que a derivada segunda pode ser escrita como
ou simplesmente
Ótimo! Vamos juntar os dois resultados agora!
Passo 5
A soma dá uma relação gigantesca, então vou juntar termo por termo aqui, usando a relação
obtemos que
assim como também
e, por último
os termos se eliminam, assim como , de maneira, que podemos resumir estes cálculos como
Como queríamos demonstrar! Aí está! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!
Resposta
Ao longo dos passos!
Exercícios de Livros Relacionados
Ver Mais
Ver Mais
Ver Mais