Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia – 1 Parâmetro

Regra de cadeia

Uma montanha tem a superfície descrita por

z = f x , y = 142 - 4 x 2 - y 2

Um esquiador está no ponto A = - 2 ,   1 ,   125 .

Se o esquiador descer a montanha e sua posição em cada instante é dada por

R t = x t ,   y t , z t

Onde

x t = t 3 - 3 t   y t = t 2   z t = f x t , y t

Determine a componente vertical da velocidade do esquiador, isto é, d z d t , quando ele passar pelo ponto B = 2 ,   4 ,   110 .

Passo 1

Calculando a derivada pela regra da cadeia:

d z d t = ∇ z x , y   . R ' t

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Calcular gradiente da função:

z x , y = 142 - 4 x 2 - y 2

∇ z x , y = ∂ z ∂ x , ∂ z ∂ y

⇒ ∇ z x , y = - 8 x ,   - 2 y

Passo 3

Definir função vetorial:

Foi dada pelo enunciado:

R t = t 3 - 3 t ,   t 2

Passo 4

Derivar parametrização:

R ' t = d x d t , d y d t

⇒ R ' t = 3 t 2 - 3 ,   2 t

Passo 5

Calcular x e y correspondentes ao ponto B = 2,4 , 110 :

x , y , z = 2,4 , 110

Então x = 2 e y = 4

Passo 6

Calcular t correspondente ao ponto B = 2,4 , 110 :

R t = 2,4 , 110

⇒ t 3 - 3 t ,   t 2 ,   z t = 2,4 , 110

Igualando os dois primeiros termos:

t 3 - 3 t = 2   t 2 = 4

Da segunda equação:

t = ± 2

Pela primeira equação, temos que

t = 2

Passo 7

Calcular gradiente nesse ponto:

∇ z x , y = - 8 x ,   - 2 y

⇒ ∇ z 2,4 = - 8 2 ,   - 2 4

⇒ ∇ z 2,4 = - 16 ,   - 8

Passo 8

Calcular derivada em t = 2 :

R ' t = 3 t 2 - 3 ,   2 t

⇒ R ' 2 = 3 2 2 - 3 ,   2 2  

⇒ R ' 2 = 3 4 - 3 ,   4  

⇒ R ' 2 = 9 ,   4  

Passo 9

Agora é só fazer o produto escalar:

d z d t 2 = ∇ z 2,4   ⋅ R ' 2

⇒ d z d t 2 = - 16 ,   - 8   ⋅ 9 ,   4

⇒ d z d t 2 = - 16 9 + - 8 4

⇒ d z d t 2 = - 144 - 32

⇒ d z d t 2 = - 176

Resposta

d z d t = - 176

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas

Muita matéria pra estudar?

Dexter Estudando

Cadastre-se para acessar os Resumões Gratuitos

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas