Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia – 1 Parâmetro

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Enunciado

Seja W ( s , t )   =   F ( u ( s , t ) ,   v ( s , t ) ) , onde F, u e v são diferenciáveis, e

u 1,0 = 2

v 1,0 = 3

u s 1,0 = - 2

v s 1,0 = 5

u t 1,0 = 6

v t 1,0 = 4

F u 2,3 = - 1

F v 2,3 = 10

Encontre W s ( 1,0 ) e W t ( 1,0 )

Passo 1

Olááá pessoal! Vamos pra esse exercício de derivadas? Aqui vamos usar bastante os conceitos de regra da cadeia, vem comigo entender

Quando a gente tem uma determina função f ( x , y ) , só que o x e o y estão em função de um outro parâmetro, vamos ter que aplicar a regra da cadeia

De um jeito prático, pensamos em derivar a função de “fora” primeiro e seguimos com as que a compõem internamente.

Então, nesse caso temos a função W = F ( u ,   v ) , onde u e v dependem das variáveis s e t , ou seja:

W s , t = F u s , t ,   v s , t

E aí queremos encontrar W s ( 1,0 ) e W t ( 1,0 ) , vamos lá? Vai ser coisa de regra da cadeia mesmo

Passo 2

Temos a função W ( s , t ) = F ( u s , t , v s , t ) . Para determinar W s e W t , as derivadas de W em relação a s e a t , respectivamente, usamos a regra da cadeia:

W s =   ∂ F ∂ u . ∂ u ∂ s + ∂ F ∂ v . ∂ v ∂ s

W t =   ∂ F ∂ u . ∂ u ∂ t + ∂ F ∂ v . ∂ v ∂ t

Agora uma coisa IMPORTANTÍSSIMA que a gente precisa perceber aqui:

Temos que u 1,0 = 2

v 1,0 = 3

Ou seja, quando s , t = ( 1,0 ) , temos que u = 2 e v = 3

Da mesma forma, temos que

F u 2,3 = - 1

F v 2,3 = 10

Opa, mas sabemos que o u e o v estão dentro do F

Isso quer dizer que o F u e o F v dados são as derivadas de F (em relação a u e a v ) quando u , v = ( 2,3 ) , ou seja, quando s , t = ( 1,0 )

Passo 3

Show, agora vamos só substituir os valores!

W s =   ∂ F ∂ u . ∂ u ∂ s + ∂ F ∂ v . ∂ v ∂ s

W s 1,0 = F u 2,3 . u s 1,0 +   F v 2,3 . v s 1,0

W s 1,0 = - 1 . - 2 + 10.5 = 52

E para W t :

W t =   ∂ F ∂ u . ∂ u ∂ t + ∂ F ∂ v . ∂ v ∂ t

W t 1,0 = F u 2,3 . u t 1,0 +   F v 2,3 . v t 1,0

W t 1,0 = - 1 . 6 + 10.4 = 34

E fimmmm!

Resposta

W s 1,0 =52

W t 1,0 =34

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Calcule (d z)/(d t) usando a regra da cadeia:z = y e^x + x e^y , x = cos t , y = sin t .
Seja z = x y , onde x = f ( u ) e y = g ( u ) . Supondo f e g diferenciáveis, f 1 = 2 , g 1 = - 2 , d x d u 1 = - 1 e d y d u 1 = 5 , calcule d z d u ( 1 ) .