Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia – 1 Parâmetro

Seja F     : R 2 → R uma função de classe C 1 . Sabe-se que

F 3 t 2 - t , t 2 = 9 t 2 - 6 t + 1

Para todo

- 1 ≤ t < - 1 2

E que a parábola

x 2 - 16 y = 0

Está contida na curva de nível 16 de F . Determine ∇ F ( 4,1 ) .

Passo 1

Sabemos que a parábola está contida na curva de nível 16 da nossa função.

Parametrizando essa parábola, temos

x = t

y = t 2 16

Ou seja,

γ t = t , t 2 16

Assim, dizer que a parábola ta contida na curva de nível 16 de F , é o mesmo que dizer que

F γ t = 16

Derivando essa equação em relação a t :

∇ F γ t ⋅ γ ' t = 0

Porque o vetor gradiente é perpendicular a curva de nível da função, por isso esse produto escalar tem que dar zero.

Ok, como temos a parametrização de γ ( t ) , podemos calcular γ ' ( t ) :

γ ' t = 1 , t 8

Ou seja:

∇ F t , t 2 16 ⋅ 1 , t 8 = 0

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Mas nós queremos ∇ F 4 ,   1 né, então vamos descobrir a que tempo t isso corresponde:

∇ F t , t 2 16 = ∇ F 4 ,   1

t , t 2 16 = 4 ,   1

Bem, temos então que

t = 4

Passo 3

Substituindo t = 4 na equação que achamos antes:

∇ F 4,1 ⋅ 1 , 4 8 = 0

⇒ ∇ F 4,1 ⋅ 1 , 1 2 = 0

Beleza, vamos guardar essa equação.

Passo 4

A outra informação que a questão deu pra gente foi que

F 3 t 2 - t , t 2 = 9 t 2 - 6 t + 1

Ou seja, nossa F é uma função composta F σ t , onde σ t = ( 3 t 2 - t , t 2 )

Usando a regra da cadeia para derivar F :

d F d t = ∇ F ⋅ σ ' t

d F d t = ∇ F 3 t 2 - t , t 2 ⋅ ( 6 t - 1,2 t )

Mas, a gente tem a expressão da composta, então a gente também pode calcular a derivada em relação a t direto:

F t = 9 t 2 - 6 t + 1

d F d t = 18 t - 6

Igualando as duas expressões, temos

∇ F 3 t 2 - t , t 2 ⋅ 6 t - 1,2 t = 18 t - 6

Passo 5

Aqui, também precisamos achar qual o valor de t que corresponde ao ponto ( 4,1 ) . Assim, como queremos ∇ F 4,1 , temos que ter

( 3 t 2 - t , t 2 ) = ( 4,1 )

Igualando as coordenadas, encontramos que

t = - 1

Substituindo isso na equação do passo anterior:

∇ F 4,1 ⋅ 6 . - 1 - 1,2 - 1 = 18 ( - 1 ) - 6

∇ F 4,1 ⋅ - 7 , - 2 = - 24

Agora já temos duas equações envolvendo ∇ F ( 4,1 ) , logo, já da pra descobrir quem é ele.

Passo 6

As duas equações que achamos foram:

∇ F 4,1 ⋅ 1 , 1 2 = 0

∇ F 4,1 ⋅ - 7 , - 2 = - 24

Se substituirmos

∇ F 4,1 = ( f x , f y )

Teremos um sistema com duas equações e duas incógnitas, logo:

f x , f y ⋅ 1 , 1 2 = 0 → f x + f y 2 = 0

f x , f y ⋅ - 7 , - 2 = - 24 → - 7 f x - 2 f y = - 24

Isolando f x na primeira equação:

f x + f y 2 = 0 → f x = - f y 2

E substituindo na segunda:

- 7 - f y 2 - 2 f y = - 24

Encontramos que

f y = - 16

E assim

f x = - f y 2 = - - 16 2 = 8

“Ou seje”

∇ F 4,1 = f x , f y = ( 8 , - 16 )

Resposta

∇ F 4,1 = ( 8 , - 16 )

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