Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia – 1 Parâmetro

USP – Cálculo 2 – 2019 – P2 – Exercício 27

A intensidade de um campo elétrico no plano x y é dada por uma função diferenciável E :   R 2 → R . Uma partícula de prova passeia ao longo da curva γ t = t 2 + 1 ,   3 t ,   t ∈ [ 0 ,   + ∞ [ . Sabendo que ∂ E ∂ x 2 ,   3 = 6 e ∂ E ∂ y 2 ,   3 = - 2 , a taxa de variação da intensidade do campo que a partícula experimenta no instante t = 1 de seu movimento é de:

a) 6 .

b) 10 .

c) - 6 .

d) - 10 .

e) 0 .

Passo 1

Fala galera, partiu fazer mais esse probleminha da POLI?

O enunciado fala que o campo elétrico E x ,   y é uma função de duas variáveis e queremos saber como esse campo varia especificamente ao longo da curva γ t = t 2 + 1 ,   3 t . Para isso, note que nessa curva

x t = t 2 + 1               e             y t = 3 t

Assim, se fizermos a composta de E com γ , obtemos uma função f t de uma única variável:

f t = E γ t = E t 2 + 1 ,   3 t

Derivando pela regra da cadeia:

d f d t t = ∂ E ∂ x d x d t + ∂ E ∂ y d y d t

Como

d x d t = 2 t               e           d y d t = 3

temos que

d f d t t = 2 t ∂ E ∂ x t 2 + 1 ,   3 t + 3 ∂ E ∂ y t 2 + 1 ,   3 t

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora é só substituir t = 1 :

d f d t 1 = 2 ∂ E ∂ x 2 ,   3 + 3 ∂ E ∂ y 2 ,   3

Pelas informações do enunciado: ∂ E ∂ x 2 ,   3 = 6 e ∂ E ∂ y 2 ,   3 = - 2 . Assim,

d f d t 1 = 2 ⋅ 6 + 3 ⋅ - 2 = 12 - 6 = 6

Essa é a taxa de variação do campo, ao longo da curva, em t = 1 ! Com isso chegamos na alternativa A 😊

Resposta

Alternativa A.

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