Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia – 1 Parâmetro

UFRJ, Cálculo 2, PF 2015.1, questão múltipla escolha 3

Sejam f ( x , y ) uma função diferenciável no ponto ( 2,1 ) e r t = 4 t + 2 ,   e 2 t . Sabendo que f x 2,1 = 1  

d d t f r t t = 0 = 0 ,

podemos afirmar que f y ( 2,1 ) vale:

(a) - 1 .

(b) 1 .

(c) - 2 .

(d) 0 .

(e) nada pode se afirmar

Passo 1

O enunciado nos deu um r ( t ) tal que

r t = x t , y t

Ele pediu o f y (2,1). Mas repare que com t = 0 temos

r t = r 0 = 4.0 + 2 , e 2.0 = ( 2,1 )

Ou seja

f y t = 0 = f y 2,1

Ótimo!

Enfim, pela regra da cadeia, temos

  d d t f r t = f x d x d t + f y d y d t

E ele deu

d d t f r t t = 0 = 0

Ou seja, com t = 0 :

f x d x d t + f y d y d t = 0

Vamos isolar f y , que é o que ele pediu:

    f y d y d t = - f x d x d t

    f y = - f x d x d t d y d t

Pronto! Então temos que achar essas 3 derivadas da direita!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Como já vimos, com t = 0 temos

r t = ( 2,1 )

Ou seja

f x t = 0 = f x 2,1

E ele já nos deu no enunciado f x 2,1 = 1 :)

Passo 3

Show! Agora vamos achar d x d t e d y d t !

r t = 4 t + 2 ,   e 2 t   x t = 4 t + 2 y t = e 2 t

Então

d x d t = 4.1 + 0 = 4

e

d y d t = 2 e 2 t

E com t = 0 :

x ' 0 = 4

y ' 0 = 2 . e 0 = 2

Passo 4

Excelente! Agora basta jogar tudo que achamos na fórmula:

    f y = - f x d x d t d y d t

f y 2,1 = - f x 2,1 . x ' 0 y ' 0

f y 2,1 = - 1 . 4 2 = - 2

Resposta

Alternativa (c)

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