Exercícios Resolvidos de Substituição Simples

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Enunciado

O gráfico da função f é dado na figura ao lado. Calcule as integrais a seguir, interpretando-as em termos de áreas:

∫ 0 2 f ( x ) d x ,   ∫ 0 5 f ( x ) d x ,   ∫ 5 7 f ( x ) d x ,   ∫ 0 9 f ( x ) d x

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos começar?

O problema começa nos dando o gráfico da função f x ,   aqui:

E pediu para calcular as integrais

∫ 0 2 f ( x ) d x ,   ∫ 0 5 f ( x ) d x ,   ∫ 5 7 f ( x ) d x ,   ∫ 0 9 f ( x ) d x

f achar o valor de cada uma das integrais! é só achar a área da figura correspondente aos limites de cada uma!

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

A primeira integral é essa aqui

∫ 0 2 f ( x ) d x

0 e 2 no x e a função f ( x ) (curva vermelha) é:

É um trapézio de base maior 3 , menor 1 e altura 2 :

∫ 0 2 f ( x ) d x = b + B h 2 = 1 + 3 . 2 2 = 4

Beleza?

Agora nossa missão é resolver as outras de forma bem similar!

Passo 3

Nossa integral é essa aqui

∫ 0 5 f ( x ) d x

Mas sabemos quanto vale de 0 até 2 , então vamos separar em três:

∫ 0 5 f ( x ) d x = ∫ 0 2 f ( x ) d x + ∫ 2 3 f ( x ) d x + ∫ 3 5 f ( x ) d x

Graficamente é:

A área azul vale 4 (do passo anterior), a área laranja é um retângulo e a verde um triângulo! Agora é só calcular e somar tudo

∫ 0 5 f ( x ) d x = 4 + 1.3 + 2.3 2 = 10

Passo 4

Nossa próxima integral é

∫ 5 7 f ( x ) d x

Note que no gráfico ela está abaixo do eixo x , então o valor da área deve ser negativo.

∫ 5 7 f ( x ) d x = - 3.2 2 = - 3

(uma área propriamente dita não é negativa, mas estamos calculando a área de uma função que pode, por exemplo, representar o trabalho realizado e esse sim, pode ser negativo)

E por fim

∫ 0 9 f ( x ) d x

Temos quase todos os intervalos calculados, só faltou de 7 até 9 :

Que é um trapézio novamente! E essa área será negativa também, pois está abaixo do eixo x !

∫ 0 9 f ( x ) d x = ∫ 0 5 f ( x ) d x + ∫ 5 7 f ( x ) d x + ∫ 7 9 f ( x ) d x

= 10 + - 3 + - 3 + 2 . 2 2 = 10 - 3 - 5 = 2

Beleza? Espero ter ajudado!

Até a próxima!

Resposta

4 ,   10 ,   - 3 ,   2

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Calcule a integralint (sec x cos 2 x)/(s e n x + sec x) d x