Exercícios Resolvidos de Substituição Simples

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Enunciado

Resolva as seguintes integrais pelo método da Substituição:

c )   ∫ x x - 1 d x

Passo 1

Ooi galera, como vocês estão?

Nessa questão o enunciado nos pede para resolver a integral abaixo usando o método da substituição de variáveis:

∫ x 1 + x 2 3 d x

Mas, antes da gente meter bronca nessa integral, todo mundo tá lembrado do que se trata o método da substituição de variáveis?

Então, basicamente temos um passo a passo pra aplicar esse método:

1 ) Identificar dentro da integral a parte que mais dificulta o seu cálculo e que pode ser sanada por uma substituição de variável.

2 ) Mudança de variável: chamar a parte a ser derivada de u e calcular sua derivada d u .

3 ) Substituir as partes em x por suas correspondentes em u .

Nesse ponto verificamos se não sobrou x na integral! Se não sobrou, parabéns! Se sobrou, você errou na substituição, volte atrás!

4 ) Resolva a integral em u normalmente.

5 ) Voltar para a variável original do problema.

Excelente! Agora que revisamos como aplicar esse método, vamos usar essa receitinha pra resolver a integral do problema!

Vem com a gente 😊

Passo 2

Bom, temos a integral:

∫ x x - 1 d x

A etapa 1 ) é Identificar dentro da integral a parte que mais dificulta o seu cálculo e que pode ser sanada por uma substituição de variável.

Então, analisando a integral acima, o grande problema está justamente nesse denominador. Pois, temos um binômio dentro da raiz. Assim, algo que poderia resolver nosso problema é usar que:

u = x - 1

Sabendo disso, vamos para a etapa 2 ) , que é realizar a mudança de variável, ou seja, chamar a parte a ser derivada de u e depois calcular d u . Temos:

u = x - 1

∴ x = u + 1

Logo:

d u = 1 ⋅ d x

Massa! Excelente.

Vamos agora para a etapa 3 , que é substituir os termos em x na integral pelos seus correspondentes em u .

Então, vimos que:

d u = 1 ⋅ d x

Usando isso e também que:

u = x - 1

x = u + 1

Vamos ter:

∫ x x - 1 d x = ∫ u + 1 u 1 2 ⋅ d u

Perfeito! Viu que conseguimos resolver o problema do binômio dentro da raiz no denominador. Já já vai ficar bem claro no que isso nos ajuda!

Vamos seguir 😉

Passo 3

Agora, na etapa 4 , precisamos resolver a integral:

∫ u + 1 u 1 2 ⋅ d u

Para isso, vamos separá-la em dois monômios diferentes:

∫ u + 1 u 1 2 ⋅ d u = ∫ u u 1 2 d u + �� 1 u 1 2 d u

=   ∫ u 1 2 d u + ∫ u - 1 2 d u

Para resolver essas integrais basta utilizarmos as primitivas padrão de polinômios, ou seja:

∫ y n d y = y n + 1 n + 1 + C

Daí, temos:

∫ u 1 2 d u = u 3 2 3 2 + C 1

∫ u - 1 2 d u = u 1 2 1 2 + C 2

Daí juntando, vem:

∫ u 1 2 d u + ∫ u - 1 2 d u = 2 u 3 2 3 + 2 u 1 2 + C

Portanto:

∫ u + 1 u 1 2 ⋅ d u = 2 u 3 2 3 + 2 u 1 2 + C

Pra finalizar, pela etapa 5 precisamos apenas voltar para a nossa variável original, usando que:

u = x - 1

Logo:

2 u 3 2 3 + 2 u 1 2 + C = 2 ( x - 1 ) 3 2 3 + 2 ( x - 1 ) 1 2 + C

Portanto:

∫ x x - 1 d x = 2 ( x - 1 ) 3 2 3 + 2 ( x - 1 ) 1 2 + C

É isso galera!

Valeeeeu, tamo junto!

Resposta

2 ( x - 1 ) 3 2 3 + 2 ( x - 1 ) 1 2 + C

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Calcule a integral. ∫ x 3 x - 1 - 4 d x
Calcule a integral fazendo a substituição dada. ∫ cos ⁡ 3 x d x , u = 3 x
32. ∫ d t 2 + t 2
Use a fórmula de substituição do Teorema 7 para calcular as integrais nos Exercícios 1-46. ∫ π 3 π / 2 cot 5 ⁡ θ 6 sec 2 ⁡ θ 6 d θ
Calcule a integral ∫ sec ⁡ x cos ⁡ 2 x s e nx + sec ⁡ x d x