Exercícios Resolvidos de Substituição Simples

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Enunciado

Resolva as seguintes integrais pelo método da Substituição:

f )   ∫ d x x 4 x 2 - 9

Passo 1

Faaaala pessoal, tudo bom?

Nessa questão o enunciado nos pede para resolver a integral abaixo usando o método da substituição de variáveis:

∫ d x x 4 x 2 - 9

Mas, antes da gente meter bronca nessa integral, todo mundo tá lembrado do que se trata o método da substituição de variáveis?

Então, basicamente temos um passo a passo pra aplicar esse método:

1 ) Identificar dentro da integral a parte que mais dificulta o seu cálculo e que pode ser sanada por uma substituição de variável.

2 ) Mudança de variável: chamar a parte a ser derivada de u e calcular sua derivada d u .

3 ) Substituir as partes em x por suas correspondentes em u .

Nesse ponto verificamos se não sobrou x na integral! Se não sobrou, parabéns! Se sobrou, você errou na substituição, volte atrás!

4 ) Resolva a integral em u normalmente.

5 ) Voltar para a variável original do problema.

Excelente! Agora que revisamos como aplicar esse método, vamos usar essa receitinha pra resolver a integral do problema!

Vem com a gente 😊

Passo 2

Bom, temos a integral:

∫ d x x 4 x 2 - 9

A etapa 1 ) consiste em identificarmos uma substituição trigonométrica que diminua o nosso problema. Para isso vamos recorrer à algumas relações trigonométricas.

Da relação fundamental da trigonometria, temos que:

s e n 2 θ + cos 2 ⁡ θ = 1

Dividindo tudo por cos 2 ⁡ θ , vem:

t g 2 θ + 1 = sec 2 ⁡ θ

Então:

sec 2 ⁡ θ - 1 = t g 2 θ

Vamos nos aproveitar dessa relação. Na nossa integral, no denominador temos:

4 x 2 - 9 = 9 ⋅ 4 9 x 2 - 1

= 9 ⋅ 2 x 3 2 - 1

Daí, vamos usar que:

sec ⁡ θ = 2 x 3

Derivando em ambos os lados:

sec ⁡ θ ⋅ tan ⁡ θ d θ = 2 d x 3

∴ d x = 3 2 sec ⁡ θ ⋅ tan ⁡ θ d θ

Substituindo todos esses resultados na integral, temos:

∫ d x x 4 x 2 - 9 = ∫ 3 2 sec ⁡ θ ⋅ tan ⁡ θ d θ 3 2 sec ⁡ θ ⋅ 4 ⋅ 9 4 sec 2 ⁡ θ - 9 1 2

Vamos melhorar um pouquinho esse caos que se formou haha

∫ 3 2 sec ⁡ θ ⋅ tan ⁡ θ d θ 3 2 sec ⁡ θ ⋅ 4 ⋅ 9 4 sec 2 ⁡ θ - 9 1 2 =   ∫ tan ⁡ θ d θ 9 sec 2 ⁡ θ - 9 1 2

= 1 3 ⋅ ∫ tan ⁡ θ d θ sec 2 ⁡ θ - 1 1 2  

Daí, usando que:

sec 2 ⁡ θ - 1 = t a n 2 θ

Vem:

1 3 ⋅ ∫ tan ⁡ θ d θ sec 2 ⁡ θ - 1 1 2   = 1 3 ⋅ ∫ tan ⁡ θ d θ tan ⁡ θ

= 1 3 ⋅ ∫ d θ

Muito bom pessoal! Conseguimos melhorar a nossa integral.

Assim, já executamos as etapas 1 ,   2   e 3 .

Passo 3

Agora, seguindo para a etapa 4 ) , precisamos apenas resolver a integral. Temos:

1 3 ⋅ ∫ d θ = 1 3 ⋅ θ + C

Como:

sec ⁡ θ = 2 3 x

Temos:

θ = arcsec ⁡ 2 x 3

Daí, substituindo, vem:

1 3 ⋅ θ + C = 1 3 ⋅ a r c s e c 2 x 3 + C

Portanto:

∫ d x x 4 x 2 - 9 = 1 3 ⋅ a r c s e c 2 x 3 + C

E é isso pessoal!

Espero que vocês tenham entendido bem direitinho a solução 😉

Resposta

1 3 ⋅ a r c s e c 2 x 3 + C

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule a integral. ∫ x 3 x - 1 - 4 d x
Calcule a integral fazendo a substituição dada. ∫ cos ⁡ 3 x d x , u = 3 x
32. ∫ d t 2 + t 2
Use a fórmula de substituição do Teorema 7 para calcular as integrais nos Exercícios 1-46. ∫ π 3 π / 2 cot 5 ⁡ θ 6 sec 2 ⁡ θ 6 d θ
Calcule a integral ∫ sec ⁡ x cos ⁡ 2 x s e nx + sec ⁡ x d x