Exercícios Resolvidos de Substituição Simples

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Enunciado

Resolva as seguintes integrais pelo método da Substituição:

h )   ∫ x x 4 + 3 d x

Passo 1

E aí galerinha, tudo tranquilo?

Nessa questão o enunciado nos pede para resolver a integral abaixo usando o método da substituição de variáveis:

∫ x x 4 + 3 d x

Mas, antes da gente meter bronca nessa integral, todo mundo tá lembrado do que se trata o método da substituição de variáveis?

Então, basicamente temos um passo a passo pra aplicar esse método:

1 ) Identificar dentro da integral a parte que mais dificulta o seu cálculo e que pode ser sanada por uma substituição de variável.

2 ) Mudança de variável: chamar a parte a ser derivada de u e calcular sua derivada d u .

3 ) Substituir as partes em x por suas correspondentes em u .

Nesse ponto verificamos se não sobrou x na integral! Se não sobrou, parabéns! Se sobrou, você errou na substituição, volte atrás!

4 ) Resolva a integral em u normalmente.

5 ) Voltar para a variável original do problema.

Excelente! Agora que revisamos como aplicar esse método, vamos usar essa receitinha pra resolver a integral do problema!

Vem com a gente 😊

Passo 2

Bom, temos a integral:

∫ x x 4 + 3 d x

Pra começar, seguindo a etapa 1 ) , precisamos identificar a mudança de variável que vai facilitar a nossa integral.

O maior problema está justamente nesse x 4 , vamos tentar tirá-lo da jogada fazendo:

u = x 2

Assim, o denominador da fração fica:

x 4 + 3 = u 2 + 3

Esse denominador já é bem interessante porque lembra a integral do arco-tangente:

∫ 1 x 2 + a 2 d x = 1 a a r c t g x a + C

Show! Então vamos para a etapa 2 ) de aplicação dessa substituição:

u = x 2

∴ d u = 2 x d x

∴ x d x = d u 2

Substituindo esses resultados na integral, temos:

∫ x x 4 + 3 d x = ∫ d u 2 u 2 + 3

= 1 2 ⋅ ∫ d u u 2 + 3

Perfeito! Agora precisamos apenas resolver essa integral 😊

Assim, finalizamos as etapas 1 ,   2   e 3 da nossa receitinha!!

Passo 3

Vamos resolver a integral:

1 2 ⋅ ∫ d u u 2 + 3

Como comentamos anteriormente, essa integral é bem parecida com a integral tabelada cuja primitiva é o arco-tangente. Vamos olhar novamente essa integral:

∫ 1 x 2 + a 2 d x = 1 a a r c t g x a + C

A nossa integral é em u e temos:

a = 3

Assim:

1 2 ⋅ ∫ d u u 2 + 3 = 1 2 ⋅ 1 3 ⋅ a r c t g u 3 + C

Racionalizando:

= 3 6 ⋅ a r c t g 3 u 3 + C

Excelente!

Pra finalizar, precisamos voltar para a nossa variável original x . Como:

u = x 2

Temos:

∫ x x 4 + 3 d x = 3 6 ⋅ a r c t g 3 ⋅ x 2 3 + C

Prontinho pessoal!

Muito obrigado pela atenção de vocês, até a próxima!

Resposta

3 6 ⋅ a r c t g 3 u 3 + C

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