Exercícios Resolvidos de Substituição Simples

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Enunciado

Resolva as seguintes integrais pelo método da Substituição:

i )   ∫ d x 28 - 12 x - x 2

Passo 1

Fala aí pessoal, tudo bem?

Nessa questão o enunciado nos pede para resolver a integral abaixo usando o método da substituição de variáveis:

∫ d x 28 - 12 x - x 2

Mas, antes da gente meter bronca nessa integral, todo mundo tá lembrado do que se trata o método da substituição de variáveis?

Então, basicamente temos um passo a passo pra aplicar esse método:

1 ) Identificar dentro da integral a parte que mais dificulta o seu cálculo e que pode ser sanada por uma substituição de variável.

2 ) Mudança de variável: chamar a parte a ser derivada de u e calcular sua derivada d u .

3 ) Substituir as partes em x por suas correspondentes em u .

Nesse ponto verificamos se não sobrou x na integral! Se não sobrou, parabéns! Se sobrou, você errou na substituição, volte atrás!

4 ) Resolva a integral em u normalmente.

5 ) Voltar para a variável original do problema.

Excelente! Agora que revisamos como aplicar esse método, vamos usar essa receitinha pra resolver a integral do problema!

Vem com a gente 😊

Passo 2

Bom, temos a integral:

∫ d x 28 - 12 x - x 2

Então, como temos um denominador que é um polinômio quadrático, a ideia inicial é completarmos quadrado. Vamos ter:

28 - 12 x - x 2 = - x + 6 2 + 64

Então, o nosso integrando ficou:

1 28 - 12 x - x 2 = 1 64 - x + 6 2

= 1 8 ⋅ 1 - x + 6 8 2  

Daí, como:

cos 2 ⁡ θ = 1 - s e n 2 θ

Vamos fazer uma substituição pra aparecer esses termos. Logo:

s e n   θ = x + 6 8

Derivando, temos:

cos ⁡ θ d θ = 1 8 ⋅ d x

∴ d x = 8 ⋅ cos ⁡ θ d θ

Substituindo na integral, vamos ter:

∫ d x 28 - 12 x - x 2 = ∫ 8 ⋅ cos ⁡ θ d θ 8 ⋅ 1 - s e n 2 θ

=   ∫ cos ⁡ θ d θ c o s θ

=   ∫ d θ

Olha que lindo gente, aquela integral chatosa se transformou nessa integral super simpática 😊

Assim, executamos as etapas 1 ) , 2 ) e 3 ) .

Passo 3

Agora vamos para a etapa 4 ) , que nada mais é do que resolver essa integral.

∫ d θ = θ + C

E, por fim, a etapa 5 ) , voltando à variável original:

s e n   θ = x + 6 8

θ = a r c s e n   x + 6 8

Portanto, finalizamos com:

∫ d x 28 - 12 x - x 2 = a r c s e n   x + 6 8 + C

E é isso galeraaa! Matamos mais uma questão 😊

Muito obrigado pela atenção de vocês!!

Resposta

a r c s e n   x + 6 8 + C

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