Exercícios Resolvidos de Substituição Simples

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Enunciado

Resolva as seguintes integrais pelo método da Substituição:

h )   ∫ d x x 2 - 4 x + 8

Passo 1

Ooie gente, tudo bem com vocês?

Nessa questão o enunciado nos pede para resolver a integral abaixo usando o método da substituição de variáveis:

∫ d x x 2 - 4 x + 8

Mas, antes da gente meter bronca nessa integral, todo mundo tá lembrado do que se trata o método da substituição de variáveis?

Então, basicamente temos um passo a passo pra aplicar esse método:

1 ) Identificar dentro da integral a parte que mais dificulta o seu cálculo e que pode ser sanada por uma substituição de variável.

2 ) Mudança de variável: chamar a parte a ser derivada de u e calcular sua derivada d u .

3 ) Substituir as partes em x por suas correspondentes em u .

Nesse ponto verificamos se não sobrou x na integral! Se não sobrou, parabéns! Se sobrou, você errou na substituição, volte atrás!

4 ) Resolva a integral em u normalmente.

5 ) Voltar para a variável original do problema.

Excelente! Agora que revisamos como aplicar esse método, vamos usar essa receitinha pra resolver a integral do problema!

Vem com a gente 😊

Passo 2

Bom, temos a integral:

∫ d x x 2 - 4 x + 8

Começando pela etapa 1 ) , precisamos identificar a substituição que irá melhorar a cara dessa integral. Para enxergamos ela, vamos fazer um procedimento comum quando temos um polinômio quadrático no denominador: completar quadrados.

x 2 - 4 x + 8 = x - 2 2 + 4

Daí, se lembrarmos da integral cuja primitiva é a arco-tangente:

∫ 1 y 2 + a 2 d y = 1 a a r c t g y a + C

Vemos que o nosso denominador se aproxima bastante disso.

Pra que fique igualzinho, podemos fazer a seguinte substituição:

u = x - 2

Derivando:

d u = d x

Daí, substituindo na integral, temos:

∫ d x x 2 - 4 x + 8 = ∫ 1 u 2 + 2 2 d u

Excelente! Assim, executamos as etapas 1 ) ,   2 ) e 3 ) e deixamos nossa integral com uma cara muito mais legal 😊

Passo 3

Agora vamos para a etapa 4 ) , que consiste em resolver a integral que achamos. Temos:

∫ 1 u 2 + 2 2 d u

Usando a integral tabelada que comentamos no passo anterior, vem que:

∫ 1 u 2 + 2 2 d u = 1 2 a r c t g   u 2 + C

Daí, agora é só seguir a etapa 5 ) e voltar à variável original:

u = x - 2

Logo:

∫ d x x 2 - 4 x + 8 = 1 2 a r c t g   x - 2 2 + C

É bonito né pessoal? Como uma integral polinomial do nada resulta em uma função arco-tangente haha.

E se a gente pensar que isso é a área abaixo da curva que a função integra representa, é mais legal ainda!

Mas é isso gente, obrigado pela atenção e até a próxima 😉

Resposta

1 2 a r c t g   x - 2 2 + C

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