Considere a função D : P 3 ⟶ P 2 definida por:

D a + b x + c x 2 + d x 3 = b + 2 c x + 3 d x 2

(Observe que D é a transformação que deriva o polinômio)

a   Mostre que D é uma transformação linear

Passo 1

Letra ( a )

Bom, essa aqui é lembrar das condições da linearidade:

  1. D p 1 + p 2 x = D p 1 x + D p 2 x .
  2. D λ p ( x ) = λ D p ( x ) ,   ∀   λ ∈ R .

Vamos provar primeiro o item 1 .

Passo 2

Vamos supor p 1 x = a 1 + b 1 x + c 1 x 2 + d 1 x 3 e p 2 x = a 2 + b 2 x + c 2 x 2 + d 2 x 3 .

E vamos definir p 1 + p 2 x = a 1 + a 2 + b 1 + b 2 x + c 1 + c 2 x 2 + d 1 + d 2 x 3

Testando a soma:

D p 1 + p 2 x = D p 1 x + D p 2 x

Lado esquerdo:

D p 1 + p 2 x = b 1 + b 2 + 2 c 1 + c 2 x + 3 d 1 + d 2 x 2

Lado direito:

D p 1 x + D p 2 x = b 1 + 2 c 1 x + 3 d 1 x 2 + b 2 + 2 c 2 x + 3 d 2 x 2 ⇒

D p 1 x + D p 2 x = b 1 + b 2 + 2 c 1 + c 2 x + 3 d 1 + d 2 x 2

Como achamos que D p 1 + p 2 x = D p 1 x + D p 2 x , está ok a condição 1 !

Passo 3

Agora só falta saber a condição 2 ! Mas antes vamos denotar p x = a + b x + c x 2 + d x 3 e também λ p x = ( λ a ) + ( λ b ) x + ( λ c ) x 2 + ( λ d ) x 3 .

D λ p ( x ) = λ D p ( x )

Lado esquerdo:

D λ p ( x ) = ( λ b ) + 2 ( λ c ) x + 3 ( λ d ) x 2

Lado direito:

λ D p ( x ) = λ b + 2 c x + 3 d x 2 = ( λ b ) + 2 ( λ c ) x + 3 ( λ d ) x 2

Como achamos que D λ p ( x ) = λ D p ( x ) , condição 2 também está ok!

E assim provamos que a nossa transformação é linear :D.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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