Exercícios Resolvidos de Transformação Linear

Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle, Álgebra Linear, 2ª ed., São Paulo, Pearson, 1987, pp. 219. - 38

Seja o espaço vetorial Equation e a transformação linear:

Equation

Equation

Mostre que Equation é linear.

Passo 1

Bom, pra uma transformação ser linear, como já sabemos, tem que satisfazer as condições:

Equation

Equation

O próprio enunciado já afirma que ela é linear, mas nos pede pra mostrarmos isso. Logo, temos que testar ambas as condições e mostrar que, de fato, elas são atendidas.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos provar a primeira condição:

Equation

Desenvolvendo Equation :

Equation

Equation

Equation

Agora o lado Equation :

Equation

Equation

Passo 3

Igualando Equation e Equation :

Equation

Todas as igualdades tão certinhas, então a transformação passou no primeiro teste. Vamos para a segunda condição agora!

Passo 4

Equation

Lado Equation :

Equation

Lado Equation :

Equation

Equation

Passo 5

-

Igualando Equation e Equation podemos ver que de fato são iguais. Como a transformação satisfez ambas as condições, ela é linear.

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