Seja T uma transformação linear tal que T 2,3 = ( 2 , - 1 ) e T 1,1 = ( 1,0 ) . A matriz associada a T é:

(a)

(b)

(c)

(d)

Passo 1

Sabemos que se fazemos T ( 1,0 ) obtemos a primeira coluna de T, e se fazemos T 0,1 vamos obter a segunda coluna de T.

Mas o enunciado deu pra gente T 2,3 = ( 2 , - 1 ) e T 1,1 = ( 1,0 ) .

Como (2,3) e (1,1) são LI, então eles formam uma base de R 2 , e conseguimos escrever todos os vetores desse espaço como CL de (2,3) e (1,1).

Vamos começar obtendo (1,0) como CL desses dois caras:

1,0 = a 2,3 + b 1,1 = 2 a + b , 3 a + b

2 a + b = 1 3 a + b = 0

Da segunda equação:

b = - 3 a

Substituindo na primeira:

2 a - 3 a = 1 ∴ a = - 1

Logo, achamos:

b = 3

Então podemos escrever:

1,0 = - 1 2,3 + 3 1,1

Aplicando T dos dois lados:

T 1,0 = T [ - 1 2,3 + 3 1,1 ]

Mas T é linear, logo:

T 1,0 = - 1 T 2,3 + 3 T 1,1

Substituindo os valores de T ( 2,3 ) e T 1,1 dados no enunciado, vamos ter a primeira coluna de T.

T 1,0 - 2 , - 1 + 3 1,0 = 1,1

Agora vamos fazer a mesma coisa pro vetor (0,1):

0,1 = a 2,3 + b 1,1 = 2 a + b , 3 a + b

2 a + b = 0 3 a + b = 1

Da primeira equação:

b = - 2 a

Substituindo na segunda:

3 a - 2 a = 1 ∴ a = 1

Logo:

b = - 2

E:

0,1 = 1 2,3 - 2 1,1

Aplicando T dos dois lados e usando que T é linear:

T 0,1 = T 2,3 - 2 1,1

T 0,1 = T 2,3 - 2 T 1,1

Substituindo, achamos a segunda coluna:

T 0,1 = 2 , - 1 - 2 1,0 = 0 , - 1

Então a matriz T é:

Passo 2

Antes de vermos as alternativas, vamos lembrar de um macete pra calcular a inversa de uma matriz 2 × 2 .

  • Calcule o determinante da matriz
  • Troque de posição os elementos da diagonal principal
  • Troque os sinais dos elementos da diagonal secundária
  • Divida todos os termos pelo determinante da matriz

Passo 3

(a)

Usando o macete pra calcular inversa e multiplicando:

E essa não é a matriz que buscamos, vamos pra próxima alternativa!

Passo 4

(b)

Usando o macete pra inversa e calculando:

Opa, essa é exatamente a matriz T que achamos!

Então já temos nossa resposta.

Resposta

(b)

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