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Exercícios Resolvidos de Capacitância de um Sistema

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Enunciado

Um capacitor cilíndrico é formado por um cilindro condutor de raio a e comprimento L , com L ≫ a , coaxial a uma casca cilíndrica espessa, também condutora, de raio interno 2 a , raio externo 4 a e comprimento L . A capacitância desse capacitor é dada por:

(a) 2 π ln ⁡ 4 ϵ 0 L

(b) 2 π ln ⁡ 2 ϵ 0 L

(c) 2 π ϵ 0 L

(d) 2 π ϵ 0 L / l n ⁡ ( 2 )

(e) 2 π ϵ 0 L / ln ⁡ 4

Passo 1

A capacitância de um capacitor é dada por

C = Q Δ V

Temos que esse capacitor é composto por dois fios condutores, um menor, de raio a e um maior de raio interno 2 a e raio externo 4 a

Então primeiramente temos que calcular a diferença de potencial entre esses dois fios. Para isso, precisaremos do campo elétrico e depois usar

Δ V = - ∫ r i r f E → . d r →

Passo 2

Então vamos calcular o campo elétrico.

Para isso, vamos desprezar os efeitos de borda (já que L ≫ a ). Temos três regiões que temos que prestar atenção:

- Dentro do fio interno ( r < a )

- Entre os dois fios ( a < r < 2 a )

- Dentro do fio maior ( 2 a < r < 4 a )

ALERTA DE PEGADINHA! Iêiéé! Dentro dos dois fios metálicos o campo elétrico é nulo. Isso vai ser bem importante quando falarmos da diferença de potencial entre os fios!

O campo elétrico,entre os fios, tem que apontar de um fio para o outro, ou seja, ele tem que estar na direção radial por causa da simetria.

Isso já nos deixa na cara do gol para aplicar a lei de Gauss! Vamos usar como superfície gaussiana um cilindro de raio r ( a < r < 2 a ) e altura L . Como o campo é radial temos que só haverá fluxo do campo elétrico através da área lateral da nossa gaussiana.

Assim a lei de Gauss fica

∫ a r e a l a t e r a l E → . d A → = q d e n t r o ϵ 0

O vetor de elemento de área será d A → = r d z d θ r ^ e o campo E → = E r ^ . A carga dentro da nossa superfície gaussiana será a carga do fio. Assim

∫ a r e a l a t e r a l E → . d A → = q d e n t r o ϵ 0

∫ 0 L d z ∫ 0 2 π d θ r E = q d e n t r o ϵ 0

2 π L r E = q d e n t r o ϵ 0

E → = q d e n t r o 2 π L r ϵ 0 r ^

Lembrando que essa formula para o campo elétrico só é válida na região entre os fios ( a < r < 2 a )

Passo 3

Agora podemos calcular a diferença de potencial entre os fios. Atentando que temos que usar os limites de integração corretos!

Vamos calcular a diferença de potencial entre o fio menor e o fio maior. Por que? Por que supomos que o campo aponta de dentro para fora, e como o campo aponta na direção em que o potencial diminui o potencial no fio maior será maior do que o potencial do fio menor.

Obs: Poderia ser diferente? Sim, nesse caso o campo apontaria de fora para dentro e a diferença de potencial seria do fio maior para o fio menor 😉

Δ V = V f i o m e n o r - V f i o m a i o r = - ∫ 2 a a E → . d r → = - q d e n t r o 2 π L ϵ 0 ∫ 2 a a d r r

V f i o m e n o r - V f i o m a i o r = - q d e n t r o 2 π L ϵ 0 ln ⁡ a - ln ⁡ 2 a = - q d e n t r o 2 π L ϵ 0 ln ⁡ a 2 a

V f i o m e n o r - V f i o m a i o r = - q d e n t r o ln ⁡ 1 2 2 π L ϵ 0

V f i o m e n o r - V f i o m a i o r = q d e n t r o ln ⁡ 2 2 π L ϵ 0

Passo 4

Como a capacitância é dada por

C = q Δ V

Finalmente achamos! o/

C = 2 π L ϵ 0 ln ⁡ 2

Resposta

(d)

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