Considere um cilindro maciço condutor de raio e comprimento que é concêntrico com uma casca cilíndrica condutora de raios interno e externo e respectivamente e de comprimento também. A casca tem densidade linear de carga ao passo que o cilindro tem densidade linear de carga . Calcule a capacitância do sistema.
Passo 1
Pela fórmula da capacitância:
Vamos primeiro trabalhar com o módulo da voltagem. Pela fórmula, nós temos:
Agora o papo é achar o campo elétrico que esse cilindro produz.
Passo 2
Enunciando a Lei de Gauss:
Basta dividir a carga interna pela constante dielétrica . Pela simetria cilíndrica do problema, escolhemos uma Gaussiana cilíndrica de raio arbitrário e comprimento arbitrário . Dado que escolhemos uma superfície com essas dimensões e já aproveitamos a simetria do campo, temos que os vetores normais à parte lateral da superfície são paralelos ao campo, ao passo que os vetores normais nas tampas são perpendiculares à ele, de forma que:
Passo 3
Pela configuração do campo, o seu módulo é constante em toda parte lateral da Gaussiana:
E temos então a área da lateral com nossa integral:
A expressão para a área lateral é dada pela fórmula:
Logo, temos:
Coisa mais fácil do mundo é você esquecer uma letra nessa sopa... Felizmente, apesar de dar um resultado um bocado diferente, isso não costuma acarretar numa perda grande de pontos. Continuando...
Passo 4
Conforme já cansamos de saber, o quanto de carga lá dentro está relacionado com a densidade, pois a distribuição de cargas é contínua. Temos uma densidade linear constante, portanto é válido dizer que a razão entre a carga interna à Gaussiana e o comprimento dela é igual à densidade:
Logo temos:
Substituindo na expressão do campo:
Passo 5
Agora a parada é achar a diferença do potencial:
Onde o vai ser um caminho radial entre os dois cilindros. Resolvendo:
Como:
Então:
Passo 6
Substituindo tudo de volta:
Agora a parada é achar a carga do capacitor. Conectamos com a densidade, certo?
Neste momento percebemos que não vamos conseguir nos livrar do ... Isso é um fato da vida. Aqui estamos mostrando como você faria numa resolução de prova, então não teria como ver isso de antemão. Vamos ter que dar essa volta mesmo...
Enfim, terminamos!
Resposta
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