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Exercícios Resolvidos de Capacitância de um Sistema

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Enunciado

Considere um cilindro maciço condutor de raio a e comprimento L que é concêntrico com uma casca cilíndrica condutora de raios interno e externo b e c respectivamente e de comprimento L também. A casca tem densidade linear de carga λ ao passo que o cilindro tem densidade linear de carga - λ . Calcule a capacitância do sistema.

Passo 1

Pela fórmula da capacitância:

C = Q V

Vamos primeiro trabalhar com o módulo da voltagem. Pela fórmula, nós temos:

V = Δ V

V = ∫ Σ   E → ∙ d r →

Agora o papo é achar o campo elétrico que esse cilindro produz.

Passo 2

Enunciando a Lei de Gauss:

∯ G E → ∙ d A → = Q i n t ϵ 0

Basta dividir a carga interna pela constante dielétrica K . Pela simetria cilíndrica do problema, escolhemos uma Gaussiana cilíndrica de raio arbitrário r e comprimento arbitrário L . Dado que escolhemos uma superfície com essas dimensões e já aproveitamos a simetria do campo, temos que os vetores normais à parte lateral da superfície são paralelos ao campo, ao passo que os vetores normais nas tampas são perpendiculares à ele, de forma que:

∯ G E → ∙ d A → = ∯ L a t e r a l E d A

Passo 3

Pela configuração do campo, o seu módulo é constante em toda parte lateral da Gaussiana:

∯ L a t e r a l E d A = E ∯ L a t e r a l d A

E temos então a área da lateral com nossa integral:

∯ G E → ∙ d A → = E A

A expressão para a área lateral é dada pela fórmula:

A = 2 π r × L

Logo, temos:

E 2 π r L = Q i n t ϵ 0

E = Q i n t 2 π L ϵ 0 r

Coisa mais fácil do mundo é você esquecer uma letra nessa sopa... Felizmente, apesar de dar um resultado um bocado diferente, isso não costuma acarretar numa perda grande de pontos. Continuando...

Passo 4

Conforme já cansamos de saber, o quanto de carga lá dentro está relacionado com a densidade, pois a distribuição de cargas é contínua. Temos uma densidade linear constante, portanto é válido dizer que a razão entre a carga interna à Gaussiana e o comprimento dela é igual à densidade:

Q i n t L = λ

Logo temos:

Q i n t = λ L

Substituindo na expressão do campo:

E = λ L 2 π L ϵ 0 r

E = λ 2 π ϵ 0 r

Passo 5

Agora a parada é achar a diferença do potencial:

V = ∫ Σ   λ 2 π ϵ 0 r d r

Onde o Σ vai ser um caminho radial entre os dois cilindros. Resolvendo:

V = λ 2 π ϵ 0 ∫ a b d r r

V = λ 2 π ϵ 0 ln ⁡ r a b

V = λ 2 π ϵ 0 ln ⁡ b - ln ⁡ a

Como:

b > a

ln ⁡ b > ln ⁡ a

Então:

V = λ ln ⁡ b a 2 π ϵ 0

Passo 6

Substituindo tudo de volta:

C = Q λ ln ⁡ b a     2 π ϵ 0

Agora a parada é achar a carga do capacitor. Conectamos com a densidade, certo?

Q L = λ

Neste momento percebemos que não vamos conseguir nos livrar do L ... Isso é um fato da vida. Aqui estamos mostrando como você faria numa resolução de prova, então não teria como ver isso de antemão. Vamos ter que dar essa volta mesmo...

Q = λ L

C = λ L 2 π ϵ 0 λ ln ⁡ b a

C = 2 π ϵ 0 L ln ⁡ b a

Enfim, terminamos!

Resposta

C = 2 π ϵ 0 L ln ⁡ b a

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