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Exercícios Resolvidos de Capacitância de um Sistema

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Enunciado

Considere uma esfera condutora maciça de raio a que é concêntrica com uma casca esférica condutora de raios interno e externo b e c respectivamente. A esfera maciça possui carga Q ao passo que a casca possui carga total - Q . Calcule a capacitância desse sistema.

Passo 1

Mesma ideia de sempre. Pediu-se a capacitância então vamos partir da sua fórmula:

C = Q V

Como a carga que está no capacitor foi dada como Q , não vamos mexer com isso. Vamos apenas nos preocupar em achar o módulo da diferença de potencial entre as esferas. O módulo da ddp é quantificado por:

V = Δ V

Que sai da fórmula da integral:

V = ∫ Σ   E → ∙ d r →

Integrando ao longo de um caminho Σ radial entre as esferas. Para isto precisamos do campo elétrico.

Passo 2

Enunciando a Lei de Gauss...

∯ G E → ∙ d A → = Q i n t ϵ 0

Pela simetria esférica do problema, escolhemos uma superfície esférica de raio arbitrário r para ser nossa Gaussiana G . Dessa forma, os vetores normais d A → são paralelos ao campo em todos os pontos de G , do que segue o fato:

E → ∙ d A → = E d A

Passo 3

Além disso, pela configuração do campo, temos que o seu módulo E → é constante em toda G , do que segue o fato:

∯ G E d A = E ∯ G d A

Da última equação, segue que a integral de d A em toda G é a área da Gaussiana. A área superficial de uma esfera é conhecida e é igual à:

∯ G d A = 4 π r 2

Substituindo na Lei, temos:

E 4 π r 2 = Q i n t ϵ 0

E = Q i n t 4 π ϵ 0 r 2

Passo 4

Como a carga interna à Gaussiana é a carga total da esfera maciça:

Q i n t = Q

Substituímos. Além disso, sabemos que o campo é radial:

E → = Q 4 π ϵ 0 r 2 r ^

Colocando na integral, temos:

V = ∫ Σ   Q 4 π ϵ 0 r 2 d r

E o nosso caminho Σ vai da superfície da esfera maciça até a superfície interna da casca esférica:

V = Q 4 π ϵ 0 ∫ a b d r r 2

V = Q 4 π ϵ 0 - 1 r a b

V = Q 4 π ϵ 0 1 a - 1 b

Como temos que:

b > a

1 b < 1 a

Então segue que:

1 a - 1 b = 1 a - 1 b

Pode parecer uma análise desnecessária, mas mata você na múltipla escolha.

V = Q 4 π ϵ 0 1 a - 1 b

Passo 5

Podemos arrumar um pouco mais a voltagem pra substituir na fórmula da capacitância:

V = Q 4 π ϵ 0 b - a a b

Substituindo:

C = Q V

C = Q Q ( b - a ) 4 π ϵ 0 a b

E voilá:

C = 4 π ϵ 0 a b b - a

Resposta

C = 4 π ϵ 0 a b b - a

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