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Exercícios Resolvidos de Capacitância de um Sistema

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Enunciado

Considere duas placas condutoras circulares de área A separadas por uma distância h no vácuo, cada uma com densidade de carga constante iguais à σ e – σ . Suponha que a distância h seja desprezível se comparada com as dimensões das placas. Calcule a capacitância desse sistema.

Passo 1

Bom, foi pedida a capacitância, então vamos colocar a sua fórmula na mesa:

C = Q V

Show, agora basta encontrarmos os valores de Q e V para o sistema. Vamos começar por Q pois parece mais simples. Sabe-se que a densidade de carga superficial, por ser constante, é igual à:

σ = Q A

Portanto podemos substituir:

Q = σ A

C = σ A V

Passo 2

Agora vamos tentar calcular a diferença de potencial entre as duas placas. A fórmula que nos dá direto a diferença de potencial (d.d.p.) é a seguinte:

Δ V = - ∫ γ   E → ∙ d r →

Onde γ vai ser um caminho retilíneo entre as duas placas. No caso, como só nos importa o módulo da d.d.p. podemos ignorar esse sinal de menos na frente da integral, portanto:

V = Δ V

V = ∫ γ   E → ∙ d r →

Passo 3

Dado que estamos tratando de duas placas planas, podemos aproximar seu campo por o de um plano infinito. Tacando a Lei de Gauss:

∯ G E → ∙ d A → = Q i n t ϵ 0

Escolhemos uma gaussiana em forma de cilindro com área A de sua seção reta. Como existe fluxo tanto pela tampa de cima quanto pela de baixo do cilindro, temos que o fluxo é 2 E A :

2 E A = Q i n t ϵ 0

Usando a fórmula da densidade mais uma vez para encontrar a carga interna à Gaussiana:

2 E A = σ A ϵ 0

E = σ 2 ϵ 0

Mas ainda não obtivemos o campo entre as duas placas planas. Este é o campo de uma placa somente. O campo das duas é simplesmente o dobro:

E = σ ϵ 0

Passo 4

Como encontramos um campo uniforme, aplicamos a integral para encontrar a diferença de potencial:

V = ∫ γ   σ ϵ 0 d r

V = σ ϵ 0 ∫ γ   d r

Como escolhemos um caminho retilíneo de uma placa para outra, o resultado da integral é simplesmente a distância entre as placas:

V = σ ϵ 0 h

Passo 5

Substituindo tudo na fórmula da capacitância, temos:

C = σ A V

C = σ A σ h ϵ 0

C = ϵ 0 A h

E acabou!

Resposta

C = ϵ 0 A h

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