Exercícios Resolvidos de Capacitância de um Sistema

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Enunciado

Dois cilindros metálicos, concêntricos, infinitamente longos e de raios a e b ( a < b ) atuam como placas de um capacitor cilíndrico. Considerando que há vácuo entre as placas, e que as placas interna e externa possuem densidade linear de carga + λ e - λ , respectivamente, calcule:

d )   A energia armazenada em um segmento de comprimento L do capacitor.

Passo 1

Faaala galera, tudo na paz por aí?

Nessa questão temos um capacitor formado por cilindros metálicos, que possuem o mesmo eixo, mas um deles é interno ao outro. O menor possui raio a e o maior possui raio b . Juntos, eles atuam como um capacitor cilíndrico, onde a placa interna tem densidade linear de carga + λ e o externo - λ .

No item anterior, usando a definição de capacitância:

C = Q U

Encontramos que a capacitância de um capacitor cilíndrico vale:

C = 2 π ε 0 L ln ⁡ b a  

Nesse item, precisamos calcular a energia armazenada em um comprimento de segmento L do capacitor.

Bom, antes de tudo, precisamos lembrar como calculamos energia potencial eletroestática.

A fórmula mais importante, que, não podemos esquecer jamais é que:

E p = Q ⋅ Δ V

Nesse caso, temos que a diferença de potencial é dada por U . Então:

E p = Q ⋅ U

Massa! Então, vamos usar a expressão da capacitância para termos a energia potencial eletroestática em função apenas da carga e da capacitância e assim matamos o nosso problema!!

Passo 2

Bom, nós vimos que, por definição:

C = Q U

Então:

U = Q C

Daí, substituindo na expressão que temos para a energia potencial armazenada no capacitor, vem:

E p = Q 2 C

Agora é só substituir! No nosso capacitor, como estamos considerando um comprimento L , a carga vale:

q = λ L

E, a capacitância vale:

C = 2 π ε 0 L ln ⁡ b a  

Logo:

E p = λ L 2 2 π ε 0 L ln ⁡ b a  

Ou seja:

E p = λ 2 L ⋅ ln ⁡ b a 2 π ε 0

Perfeito gente! Essa é a energia potencial armazenada no capacitor!!

Muito obrigado pela atenção de vocês e até a próxima 😉

Tchauzinhooo!!

Resposta

E p = λ 2 L ⋅ ln ⁡ b a 2 π ε 0

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