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Exercícios Resolvidos de Capacitância de um Sistema

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Enunciado

Um cilindro condutor de comprimento L e raio a , com carga Q > 0 , é coaxial a uma camada cilíndrica condutora maior, com raio interno b > a e carga - Q . Despreze efeitos de borda.

  1. Calcule o vetor campo elétrico E → na região a < r < b .
  2. Calcule a capacitância C do sistema.
  3. Qual é a energia eletrostática armazenada no sistema?

Passo 1

  1. Calcule o vetor campo elétrico E → na região a < r < b .
  2. Poxa! Que lindo, não é verdade? Chegar no final da prova e, depois de quebrar a cabeça por mais de uma hora você encontra uma questão tranquila assim... então vamos aproveitar esse belo momento e matar essa aqui rápido, sem dó, nem piedade.

    Pediu campo elétrico no condutor? Taca-lhe lei de Gauss!

    ∯ G   E → ∙ d A → = Q i n t ϵ 0

    Nesse caso, a nossa gaussiana será um cilindro de comprimento L e raio r , tal que a < r < b .

    A carga interna à nossa gaussiana será a carga do condutor de raio a .

    Q i n t = Q

    E a área da gaussiana será a área lateral do cilindro:

    A = 2 π r L

    Feito isso, é só jogar na lei de Gauss e ser feliz!

    2 π r L E = Q ϵ 0

    E = Q 2 π ϵ 0 r L

    Mas o problema pediu o vetor campo elétrico! Então, cuidado pra não dar mole.

    O vetor campo elétrico aponta no sentido radial, logo:

    E → = Q 2 π ϵ 0 r L   r ^

    Passo 2

  3. Calcule a capacitância C do sistema.
  4. Se você nunca viu isso antes, pode parecer o tipo de coisa que você olha e fala: “Say whaaat?!”. Mas não tema, estamos aqui pra isso, não é nenhum bicho de sete cabeças.

    Vamos seguindo o raciocínio lógico, ok?

    Por definição, a capacitância é dada por:

    C = Q V

    Então temos que começar calculando o módulo do potencial V .

    Passo 3

    Por definição:

    V = ∫ a b E → ∙ d r → = Q 2 π ϵ 0 L   ∫ a b d r r

    V = Q 2 π ϵ 0 L ln ⁡ b a

    Agora vamos voltar para a capacitância:

    C = Q V

    C = 2 π ϵ 0 L Q Q l n ⁡ b a

    C = 2 π ϵ 0 L l n ⁡ b a

    Passo 4

  5. Qual é a energia eletrostática armazenada no sistema?

A energia armazenada num capacitor é dada por:

U = Q 2 2 C

Como já calculamos C , basta substituir na equação acima:

U = Q 2 4 π ϵ 0 L l n ⁡ b a

Simples, certo? Você só precisa ter esses conceitos em mente e isso tende a ser um pouco mais tranquilo.

Resposta

  1. E → = Q 2 π ϵ 0 L r   r ^   ( r a d i a l )

  2. C = 2 π ϵ 0 L l n ⁡ b a

U = Q 2 4 π ϵ 0 L l n ⁡ b a

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