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Exercícios Resolvidos de Capacitância de um Sistema

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Enunciado

O capacitor mostrado na figura abaixo está parcialmente preenchido por um material dielétrico de constante dielétrica κ e está carregado com uma carga Q . A área do capacitor plano é A , a distância entre as placas é d e a espessura do dielétrico é y . O resto do capacitor encontra-se no vácuo. Determine:

(a) Os vetores campos elétricos nas três regiões no interior do capacitor.

(b) A diferença de potencial entre as placas do capacitor.

(c) A capacitância do capacitor.

Passo 1

a)Uma informação que devemos lembrar sempre: o campo elétrico resultante vai ser diferente de zero apenas entre as placas. Já no vácuo, ele vale - Q A ε 0 j ^ , então o campo elétrico nas regiões 1 e 3 é

E 1 → = E 3 → = - Q A ε 0 j ^

Já na região 2 , como temos a presença de um dielétrico, o campo elétrico fica reduzido por um fator κ , assim:

E 2 → = - Q κ A ε 0 j ^

Passo 2

b) Lembra como se calcula a diferença de potencial quando já temos o campo elétrico? É assim

V d - V 0 = - ∫ 0 d E → ⋅ d l →

O campo elétrico é diferente na região 2 , então, com ajuda da figura do enunciado (para analisar os intervalos) vamos separar a integral em 3 partes, assim:

V d - V 0 = ( V d - y - x - V 0 ) + ( V d - x - V d - y - x ) + ( V d - V d - x )

V d - V 0 = - ∫ 0 d - y - x E → ⋅ d l → - ∫ d - y - x d - x E → ⋅ d l → - ∫ d - x d E → ⋅ d l →

V d - V 0 = Q A ε 0 d - y + Q κ A ε 0 y

Passo 3

c) A gente define a capacitância como

C = Q V d - V 0

A gente calculou a diferença de potencial V d - V 0 no item b, então é só substituir :D

C = Q Q A ε 0 d - y + Q κ A ε 0 y

C = κ A ε 0 κ d - y + y

Resposta

  1. E 1 → = E 3 → = - Q A ε 0 j ^
  2.   E 2 → = - Q κ A ε 0 j ^

  3. V d - V 0 = Q A ε 0 d - y + Q κ A ε 0 y
  4. C = κ A ε 0 κ d - y + y

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