Exercícios Resolvidos de Capacitância de um Sistema

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Enunciado

Um capacitor esférico é constituído por duas cascas esféricas metálicas concêntricas de raios a e b com a

(a) (1,0 ponto) Calcule o vetor campo elétrico em um ponto P, localizado a uma distância r do centro geométrico do capacitor, tal que a

(b) (1,0 ponto) Calcule a diferença de potencial entre as placas do capacitor.

(c) (0,5 ponto) Calcule a capacitância deste capacitor.

Passo 1

Oiii gente! Vamos lá resolver essa questão. Mastigando o enunciado: é dado que um capacitor esférico constituído por duas cascas esféricas metálicas concêntricas de raios a e b com a

  1. Para descobrirmos a resposta desse item, temos que ver o que nos é pedido e o que é oferecido pela questão
  2. Nesse caso, é pedido o campo elétrico em um ponto P a uma distância r. A imagem nos mostra uma representação de onde o ponto P pode estar dentro desse círculo.

    “Não tô entendendo nada ”

    Vou explicar de uma maneira melhor! Como a distância é radial, a área onde esse ponto P pode estar é um círculo. E essa informação é superimportante pra resolução, pois como o círculo é simétrico e estamos trabalhando com campo elétrico e com cargas, qual fórmula nos ajudará a descobrir o campo?

    A lei de Gauss!! Isso mesmo, ela se aplica perfeitamente para casos em que o corpo carregado é simétrico (e queremos achar campo elétrico). Assim, temos:

    ∮ E →   . d A = q i n t / ε 0

    Sendo q i n t a carga interna ao corpo, e e 0 a constante dielétrica.

    ε 0 ∮ E →   . d A = q i n t

    Como apenas o que vai estar variando é a área, podemos tirar o campo elétrico de dentro da integral:

    ε 0 E → ∮ d A = q i n t

    Como a área é a de um círculo, temos:

    ε 0 E 4 π r 2 = q i n t

    Substituindo a carga interna por Q e mudando a organização da equação, temos:

    E → = Q 4 π ε 0 r 2 r ^

    Sendo r o raio do circulo.

    Passo 2

  3. Para acharmos a diferença de potencial entre as placas, temos que nos lembrar qual sua fórmula, ou maneira que pode ser escrita que envolva a integral da área em questão, para que assim possamos desenvolver e chegarmos a resposta com as variáveis que nos foram fornecidas na questão.
  4. A diferença de potencial é dada por:

    V A B = - ∫ A B E → . d l →

    Mas quem é E → e d l → ?

    E → nós já encontramos na letra A) e d l → vai ser d r r ^ , pois apenas o raio está variando

    Ao substituir, temos:

    V A B = - ∫ a b ( - Q ) 4 π ε 0 r 2 . d r . r ^ . r ^

    Tirando a parte que não varia para fora da integral, temos:

    V A B = Q 4 π ε 0 ∫ a b d r r 2

    V A B = Q 4 π ε 0 1 a - 1 b

    Vale lembrar que “ a ” e ” b ” são os limites da integração porque são os valores máximo e mínimo do raio em questão

    Passo 3

  5. Para descobrirmos a capacitância, vamos partir do seu conceito para conseguirmos deduzir como é a fórmula que utilizaremos. Após isso, vamos aplicar os dados que foram fornecidos na questão e, se necessário, os que obtivemos.

A capacitância é uma grandeza e ela mede a quantidade de armazenamento de energia e se relaciona com a diferença de potencial.

A fórmula a ser utilizada é

C = Q ∆ V

Sendo C a capacitância, Q a carga e Δ V a variação de tensão!

Aí eu lhe questiono, temos os dados necessários para descobrir quem é C ?

Temos sim!! Achamos nas letras anteriores. Então vamos substituir e chegarmos à resposta

C = Q Q 4 π ε 0 1 a - 1 b

C = 4 π ε 0 1 a - 1 b

Assim, temos a capacitância em função das variáveis da questão!!

Se ficou alguma dúvida, quer dar alguma sugestão ou reportar algum erro, manda um feedback pra gente! Vamos adorar ajudar você

Resposta

Item A ) E → = Q 4 π ε 0 r 2 r ^

Item B ) V A B = Q 4 π ε 0 1 a - 1 b

Item C )   C = 4 π ε 0 1 a - 1 b

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