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Exercícios Resolvidos de Capacitância de um Sistema

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Enunciado

Um capacitor é formado por uma esfera condutora de raio a e uma casca esférica condutora de raio b > a , conforme a figura.

A esfera interna tem carga + Q e a casca esférica tem carga - Q . As respostas devem ser dadas apenas em termos de ϵ 0 , a , b e E 0 .

a ) Determine a diferença de potencial V entre a esfera interna e a casca esférica.

b ) Calcule a capacitância C e determine a energia eletrostática U armazenada no capacitor.

Passo 1

a ) Determine a diferença de potencial V entre a esfera interna e a casca esférica.

Pra calcular a diferença de potencial ente a esfera interna e a casca esférica, podemos começar calculando o campo elétrico através da Lei de Gauss e depois encontrando a diferença de potencial usando a equação:

V a - V b = Δ V = - ∫ b a E → ∙ d l →

A Lei de Gauss é dada por:

∯ G   E → ∙ d A → = Q i n t ϵ 0

A partir da simetria esférica do problema, podemos simplificar a Lei de Gauss para:

E A = Q i n t ϵ 0

Onde A é a área da nossa gaussiana esférica:

E 4 π r 2 = Q i n t ϵ 0

E = 1 4 π ϵ 0 Q i n t r 2

Como estamos analisando a região entre a esfera interna e a casca esférica, a < r < b . Assim, a carga que está dentro da nossa gaussiana é somente a carga + Q da esfera.

Logo:

E r = 1 4 π ϵ 0 Q r 2

Passo 2

Agora que calculamos E r , podemos calcular a diferença de potencial:

Δ V = - ∫ b a E → ∙ d l →

Δ V = - ∫ b a E r d r

Δ V = - Q 4 π ϵ 0 ∫ b a 1 r 2 d r

Δ V = Q 4 π ϵ 0 1 r b a

Δ V = Q 4 π ϵ 0 1 a - 1 b

Como a < b , então 1 / a > 1 / b , logo Δ V > 0 , ou seja, o potencial na esfera de raio a é maior que o potencial da casca esférica, o que faz sentido, já que a esfera é carregada positivamente e a casca negativamente.

Passo 3

b ) Calcule a capacitância C e determine a energia eletrostática U armazenada no capacitor.

Opa! Agora que acabamos de calcular a diferença de potencial, para calcular a capacitância, basta usar a equação:

Δ V = Q C → C = Q Δ V

Portanto:

C = Q Q 4 π ϵ 0 1 a - 1 b

Simplificando esse cara:

C = 4 π ϵ 0 1 a - 1 b

Passo 4

A energia U armazenada em um capacitor é dada por:

U = 1 2 Q V

Logo:

U = Q 2 2 4 π ϵ 0 1 a - 1 b

U = Q 2 8 π ϵ 0 1 a - 1 b

Opa! Mas o problema pediu para darmos as respostas em função de ϵ 0 , a , b e E 0 ... isso significa que temos que sumir com esse Q 2 .

E 0 é o campo elétrico na superfície da esfera interna de raio a , dado por:

E 0 = 1 4 π ϵ 0 Q a 2

Isolando o Q , teremos:

Q = 4 π ϵ 0 a 2 E 0

Q 2 = 16 π 2 ϵ 0 2 a 4 E 0 2

Substituindo isso na nossa expressão de U :

U = 16 π 2 ϵ 0 2 a 4 E 0 2 8 π ϵ 0 1 a - 1 b

Simplificando esse cara, finalmente teremos:

U = 2 π ϵ 0 a 4 E 0 2 1 a - 1 b

Agora sim!

Resposta

a )

Δ V = Q 4 π ϵ 0 1 a - 1 b

b )

C = 4 π ϵ 0 1 a - 1 b

U = 2 π ϵ 0 a 4 E 0 2 1 a - 1 b

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