Exercícios Resolvidos de Capacitância de um Sistema

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Enunciado

Refaça todos os itens do problema anterior, considerando agora que a região entre as esferas é preenchida com um material dielétrico de constante dielétrica κ .

Passo 1

Faaaala galerinha, tudo beleza?

Nessa questão, precisamos refazer o item anterior mas considerando que a região possui um material de constante dielétrica κ . Ou seja, vamos voltar a situação em que temos um capacitor esférico, de raio interno a e raio externo b , e com cargas + q   e - q na superfície interna e externa, respectivamente.

Sobre esse capacitor precisamos calcular:

- Campo elétrico para r < a , a < r < b e r > b ;

- Diferença de potencial entre as placas;

- Capacitância do capacitor esférico;

- Energia armazenada no capacitor.

Para isso, precisamos entender qual a influência do material dielétrico no lugar do vácuo que existia antes entre as placas.

De forma simples, o efeito principal do dielétrico é o abaixamento do campo elétrico na região entre as placas do capacitor. Esse efeito gera consequências na diferença de potencial, na capacitância e também na energia armazenada.

Dizemos que:

E → = E → 0 κ

onde E → 0 é o campo elétrico quando o meio entre as placas é o vácuo.

Na prática, é como se tivéssemos uma nova permissividade magnética dada por:

ε = κ ⋅ ε 0

Massa! Sabendo disso, vamos colocar as mãos à obra 😊

Passo 2

Começando pelo campo elétrico que havíamos calculado anteriormente pela lei de Gauss. Na região r < a e r > b , o campo elétrico era nulo e assim permanece.

Mas, na região entre as placas tínhamos:

E 0 = 1 4 π ε 0 ⋅ q r 2

Agora, trocando ε 0 por κ ε 0 , vem:

E = 1 4 π κ ε 0 ⋅ q r 2 ,           a < r < b

Passo 3

Vamos seguir o mesmo raciocínio para as outras informações pedidas.

No caso da diferença de potencial, tínhamos achado:

U 0 = q 4 π ε 0 ⋅ 1 a - 1 b

Então, com o novo material dielétrico:

U = q 4 π κ ε 0 ⋅ 1 a - 1 b

Já no caso da capacitância, tínhamos encontrado:

C 0 = 4 π ε 0 a b b - a

Depois de acrescentarmos o novo material dielétrico:

C = 4 π κ ε 0 a b b - a

E, por fim, quando à energia armazenada, tínhamos encontrado:

E p , 0 = q 2 b - a 4 π ε 0 a b

Agora trocando o material dielétrico, vem:

E p = q 2 b - a 4 π κ ε 0 a b

Ou seja galera, o efeito do novo material dielétrico no campo elétrico, na diferença de potencial e na energia armazenada no capacitor, é a diminuição de ambos por um fator κ . Enquanto na capacitância, ocorre um aumento por um fator κ .

É isso galera! Curtiram a solução? Responde Aí!!

Resposta

E = 1 4 π κ ε 0 ⋅ q r 2 ,           a < r < b

U = q 4 π κ ε 0 ⋅ 1 a - 1 b

C = 4 π κ ε 0 a b b - a

E p = q 2 b - a 4 π κ ε 0 a b

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