Exercícios Resolvidos de Capacitância de um Sistema

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Enunciado

Dois cilindros metálicos, concêntricos, infinitamente longos e de raios a e b ( a < b ) atuam como placas de um capacitor cilíndrico. Considerando que há vácuo entre as placas, e que as placas interna e externa possuem densidade linear de carga + λ e - λ , respectivamente, calcule:

c ) A capacitância de um comprimento de segmento L do capacitor.

Passo 1

E aí pessoal, tudo na paz?

Nessa questão temos um capacitor formado por cilindros metálicos, que possuem o mesmo eixo, mas um deles é interno ao outro. O menor possui raio a e o maior possui raio b . Juntos, eles atuam como um capacitor cilíndrico, onde a placa interna tem densidade linear de carga + λ e o externo - λ .

No item anterior, usamos a definição da diferença de potencial:

U = ∫ a b E → ⋅ d l →

juntamente com o campo elétrico entre as placas do capacitor cilíndrico (que havíamos calculado pela Lei de Gauss) e encontramos que a diferença de potencial entre as placas do capacitor cilíndrico vale:

U = λ 2 π ε 0 ⋅ ln ⁡ b a

Nesse item, precisamos calcular a capacitância do capacitor.

Vem comigo que vai ser massa!!

Passo 2

Bom, por definição a capacitância de qualquer capacitor vale:

C = Q U

onde Q é o módulo da carga no capacitor e U é a diferença de potencial.

No caso do nosso capacitor cilíndrico, a densidade linear de cargas vale λ . E, o segmento considerado do capacitor cilíndrico é L . Logo:

Q = λ L

E:

U = λ 2 π ε 0 ⋅ ln ⁡ b a

Daí, substituindo na expressão da capacitância, vem que:

C = λ L λ 2 π ε 0 ⋅ ln ⁡ b a

Portanto:

⇒ C = 2 π ε 0 L ln ⁡ b a  

E é isso galera! Essa é a expressão da capacitância em um capacito de placas cilíndricas!!

Gostaram? Até a próxima 😉

Resposta

C = 2 π ε 0 L ln ⁡ b a  

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