Exercícios Resolvidos de Capacitância de um Sistema

Ver Teoria

Enunciado

Um capacitor é formado por uma esfera condutora de raio a e uma casca esférica condutora de raio b > a , conforme a figura.

A esfera interna tem carga + Q e a casca esférica tem carga - Q . As respostas devem ser dadas apenas em termos de ϵ 0 , a , b e ϵ 0 .

a ) Determine a diferença de potencial V entre a esfera interna e a casca esférica.

b ) Calcule a capacitância C

Passo 1

a ) Determine a diferença de potencial V entre a esfera interna e a casca esférica.

Pra calcular a diferença de potencial ente a esfera interna e a casca esférica, podemos começar calculando o campo elétrico através da Lei de Gauss e depois encontrando a diferença de potencial usando a equação:

V = V i n t e r n a - V e x t e r n a = - ∫ b a E → ∙ d l →

Eu escolhi nesse sentido por que V i n t e r n a > V e x t e r n a , já que o campo tem que apontar de dentro pra fora (lembrando que o campo aponta pra direção em que o potencial diminui)

A Lei de Gauss é dada por:

∯ G   E → ∙ d A → = Q i n t ϵ 0

A partir da simetria esférica do problema, podemos simplificar a Lei de Gauss para:

E A = Q i n t ϵ 0

Onde A é a área da nossa gaussiana esférica:

E 4 π r 2 = Q i n t ϵ 0

E = 1 4 π ϵ 0 Q i n t r 2

Como estamos analisando a região entre a esfera interna e a casca esférica, a < r < b . Assim, a carga que está dentro da nossa gaussiana é somente a carga + Q da esfera.

Logo:

E r = 1 4 π ϵ 0 Q r 2

Passo 2

Agora que calculamos E r , podemos calcular a diferença de potencial:

V = - ∫ b a E → ∙ d l →

Δ V = - ∫ b a E r d r

V = - Q 4 π ϵ 0 ∫ b a 1 r 2 d r

Lembrando que ∫ d r / r 2 = - 1 / r

V = Q 4 π ϵ 0 1 r b a

V = Q 4 π ϵ 0 1 a - 1 b

Passo 3

b ) Calcule a capacitância C e determine a energia eletrostática U armazenada no capacitor.

Opa! Agora que acabamos de calcular a diferença de potencial, para calcular a capacitância, basta usar a equação:

V = Q C → C = Q V

Portanto:

C = Q Q 4 π ϵ 0 1 a - 1 b

Simplificando esse cara:

C = 4 π ϵ 0 1 a - 1 b

Resposta

a )

Δ V = Q 4 π ϵ 0 1 a - 1 b

b )

C = 4 π ϵ 0 1 a - 1 b

Exercícios de Livros Relacionados

Os dois objetos de metal da Fig. 25-24 possuem cargas de + 70 pC e -70 pC, que resultam em uma diferença de potencial de 20 V. (a) Qual é a capacitância do sistema? (b) Se as cargas mudam para + 200 p
As placas de um capacitor de placas paralelas são separadas por uma distância d 0 e cada placa tem área A . Uma lâmina metálica d e área A é inserida entre as placas de maneira tal que a lâmina é para
Calcule:a) a capacitância de um par de placas paralelas com área de 100c m 2 cada, separadas de 3,0m m ;b) o campo elétrico quando o capacitor possui uma carga de 0,10μ C .
Um capacitor com placas paralelas no ar possui uma capacitância igual a 245 pF e um módulo de carga de 0,148 μ C em cada placa. A distância entre as placas é igual a 0,328 mm. (a) Qual é a diferença d
Na Figura 17.14, a chave comutadora está inicialmente na posição a . Calcule a carga Q 1 no capacitor de capacitância C 1 , após a chave ser comutada para a posição b e cessarem as correntes.