Calcule f ' ( a ) usando a definição, nos seguintes casos:

c) f z = z - 5 ; a = 9

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular a derivada da função f ( z ) no ponto a , usando a definição de derivada. Mas como é essa definição mesmo?

Bom, para f ' ( a ) , temos a seguinte a definição:

f ' a = lim z → a ⁡ f z - f ( a ) z - a

Então, basta a gente substituir a função e o valor da função no ponto e calcular o limite.

Vamos lá!

Passo 2

Nossa função é dada por:

f z = z - 5

Assim, para a = 9 , temos:

f a = f 9 = 9 - 5 = 2

Nós queremos encontrar f ' ( a ) para a = 9 . Então, usando a definição do passo 1 e substituindo f z e f 9 , teremos:

f ' 9 = lim z → 9 ⁡ z - 5 - 2 z - 9

Multiplicando pelo conjugado da raiz, temos:

= lim z → 9 ⁡ z - 5 - 2 z - 9 ∙ z - 5 + 2 z - 5 + 2

= lim z → 9 ⁡ z - 5 - 4 ( z - 9 ) z - 5 + 2 = lim z → 9 ⁡ z - 9 ( z - 9 ) z - 5 + 2

Simplificando:

f ' 9 = l i m z → 9 1 z - 5 + 2

E aplicando o limite, temos:

f ' 9 = 1 9 - 5 + 2

f ' 9 = 1 2 + 2 = 1 4

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

1 4

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