Exercícios Resolvidos de Definição de Derivadas

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Enunciado

Seja f : I R → I R dada por f x = sin ⁡ 3 x sin ⁡ tan ⁡ x x ,     s e   x ≠ 0 0 ,                                                           s e   x = 0 . Calcule, caso exista, f ' 0

Passo 1

Uma forma da gente responder essa questão é lembrar da definição de derivada:

f ' x = lim ∆ x → 0 ⁡ f x + ∆ x - f x ∆ x

Veja bem, na prática, a derivada existe se o limite existir e for finito. Então basta calcular esse limite inserindo nele os dados do enunciado. Como sabemos a lei de formação de f x e o ponto no qual queremos saber se existe derivada...

f ' 0 = lim ∆ x → 0 ⁡ f ∆ x - f 0 ∆ x = lim ∆ x → 0 ⁡ f ∆ x ∆ x

f ' 0 = lim ∆ x → 0 ⁡ sin ⁡ 3 ∆ x sin ⁡ tan ⁡ ∆ x ∆ x ∆ x = lim ∆ x → 0 ⁡ sin ⁡ 3 ∆ x sin ⁡ tan ⁡ ∆ x ∆ x 2

E dai em diante é conta!

Passo 2

Agora vo te dar uma dica de ouro pra esse limite: lembra do limite fundamental trigonométrico?

lim ∆ x → 0 ⁡ sin ⁡ ● ● = 1

Onde essa bolinha pode ser qualquer função de x . Porque falamos dele? Bem, a função seno aparece duas vezes no nosso limite! Então se manipularmos um pouco talvez a gente consiga fazer o limite fundamental aparecer! Dá só uma olhada:

f ' 0 = lim ∆ x → 0 ⁡ sin ⁡ 2 ∆ x sin ⁡ tan ⁡ ∆ x ∆ x 2 = lim ∆ x → 0 ⁡ sin ⁡ 2 ∆ x sin ⁡ tan ⁡ ∆ x ∆ x 2 ∙ 3 3

f ' 0 = lim ∆ x → 0 ⁡ sin ⁡ 3 ∆ x 3 ∆ x ∙ 3 sin ⁡ tan ⁡ ∆ x ∆ x = lim ∆ x → 0 ⁡ sin ⁡ 3 ∆ x 3 ∆ x ∙ lim ∆ x → 0 ⁡ 3 sin ⁡ tan ⁡ ∆ x ∆ x

Opa, apareceu em! Primeira vez!

lim x → 0 ⁡ sin ⁡ ● ● = lim ∆ x → 0 ⁡ sin ⁡ 3 ∆ x 3 ∆ x = 1   →   ● = 3 ∆ x

Nosso limite fica:

f ' 0 = lim ∆ x → 0 ⁡ 3 sin ⁡ tan ⁡ ∆ x ∆ x

O que ainda não resolveu porque eliminamos só um dos senos. Mas não tem problema! Podemos continuar usando essa ideia:

f ' 0 = lim ∆ x → 0 ⁡ 3 sin ⁡ tan ⁡ ∆ x ∆ x ∙ tan ⁡ ∆ x tan ⁡ ∆ x = lim ∆ x → 0 ⁡ sin ⁡ tan ⁡ ∆ x tan ⁡ ∆ x ∙ 3 tan ⁡ ∆ x ∆ x

f ' 0 = lim ∆ x → 0 ⁡ sin ⁡ tan ⁡ ∆ x tan ⁡ ∆ x ∙ lim ∆ x → 0 ⁡ 3 tan ⁡ ∆ x ∆ x

Limite fundamental novamente! Dessa vez com outro valor pra bolinha:

lim x → 0 ⁡ sin ⁡ ● ● = lim ∆ x → 0 ⁡ sin ⁡ tan ⁡ ∆ x tan ⁡ ∆ x = 1   →   ● = tan ⁡ ∆ x

E logo a nossa derivada fica com essa cara:

f ' 0 = lim ∆ x → 0 ⁡ 3 tan ⁡ ∆ x ∆ x

Passo 3

Pode até parecer que nos livramos das funções senos e acabamos de reduzir a função, mas a verdade é que falta uma, a que está dentro da tangente! Nossa derivada fica:

f ' 0 = lim ∆ x → 0 ⁡ 3 tan ⁡ ∆ x ∆ x = lim ∆ x → 0 ⁡ 3 sen ⁡ ∆ x ∆ x cos ⁡ ∆ x

Mexendo mais um pouquinho, da pra fazer aparecer uma terceira e última vez o limite fundamental trigonométrico:

f ' 0 = lim ∆ x → 0 ⁡ sen ⁡ ∆ x ∆ x ∙ 3 cos ⁡ ∆ x = lim ∆ x → 0 ⁡ sen ⁡ ∆ x ∆ x ∙ lim ∆ x → 0 ⁡ 3 cos ⁡ ∆ x

f ' 0 = lim ∆ x → 0 ⁡ 3 cos ⁡ ∆ x = 3 cos ⁡ 0 = 3 1 = 3

Ou seja, não só a derivada existe como conseguimos calcular!

f ' 0 = 3

Resposta

f ' 0 = 3

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