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Exercícios Resolvidos de Indutores e Indutância

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Enunciado

Um anel condutor C 1 de raio a está no plano x y e centrado na origem O de um sistema de coordenadas. Outro anel condutor C 2 , concêntrico a C 1 possui raio b ≪ a , conforme a figura.

a ) Calcule a indutância mútua entra os dois anéis. Justifique as aproximações feitas.

b ) No anel C 2 circula uma corrente I 2 = I 0 cos ⁡ ω t . Calcule a força eletromotriz induzida no anel 1 pelo anel 2.

Dado: O campo magnético no centro de um anel de raio R por onde passa uma corrente I é B = μ 0 I 2 R .

Passo 1

a ) Calcule a indutância mútua entra os dois anéis. Justifique as aproximações feitas.

Por definição, a indutância mútua é dada por:

M = N 1 ϕ 1 I 2 = N 2 ϕ 2 I 1

Como b ≪ a , é razoável dizer que o campo magnético no interior de C 2 , gerado pela corrente que passa por C 1 corresponderá ao campo magnético no centro do anel C 1 e será, aproximadamente:

B 2 = μ 0 I 1 2 a

Que corresponde ao campo magnético no centro do anel.

O fluxo magnético no anel C 2 , então, será dado por:

ϕ 2 = ∬ S B → ∙ d A → ≅ B 2 A ≅ B 2 π b 2

ϕ 2 = μ 0 I 1 2 a π b 2 = μ 0 I 1 π b 2 2 a

Agora ficou fácil calcular a indutância mútua:

M = N 2 μ 0 I 1 π b 2 2 a I 1

Como se trata apenas de um anel, N 2 = 1 . Simplificando a expressão acima:

M = μ 0 π b 2 2 a

Passo 2

b ) No anel C 2 circula uma corrente I 2 = I 0 cos ⁡ ω t . Calcule a força eletromotriz induzida no anel 1 pelo anel 2.

Se o cara falou de fem induzida, temos que pensar logo em Lei de Faraday, que é dada por:

ε = - ∂ ϕ 1 B ∂ t

Esse é um meio de resolver o problema. Um outra forma de resolver é utilizando a definição de indutância mútua na Lei de Faraday:

N 1 ∂ ϕ 1 ∂ t = M ∂ I 2 ∂ t

Como trata-se apenas de um anel N 1 = 1 e a Lei de Faraday pode ser reescrita como:

ε = - M ∂ I 2 ∂ t

Esse meio de resolver, nesse caso, vai facilitar a nossa vida porque nós já calculamos a indutância mútua M . Então vamos seguir com ela.

ε = - μ 0 π b 2 2 a ∂ I 0 cos ⁡ ω t ∂ t

ε = μ 0 π b 2 2 a   ω I 0 sen ⁡ ω t

Resposta

a )

M = μ 0 π b 2 2 a

b )

ε = μ 0 π b 2 2 a   ω I 0 sen ⁡ ω t

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