Exercícios Resolvidos de Indutores e Indutância

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Enunciado

Uma espira retangular está no mesmo plano de um fio longo retilíneo que conduz uma corrente I . A espira tem um comprimento d (paralelo ao fio) e largura w , conforme figura. A indutância mútua do sistema dobrará em qual (is) dos seguintes casos?

  1. Dobrando-se I .
  2. Dobrando-se w
  3. Dobrando-se l .
  4. Reduzindo-se d pela metade.
  1. II e III;
  2. I, III e IV;
  3. I, II, III e IV;
  4. Somente I;
  5. Somente III.

Passo 1

POW! De acordo com a teoria, o fluxo de campo magnético ϕ que o fio longo faz dentro da espira pode ser dado por...

ϕ = M I

Onde M é indutância mútua que tanto queremos encontrar!

Passo 2

Então, a nossa primeira tarefa é determinar o fluxo do campo dentro desse retângulo que ele deu aí.

E pode anotar aí: toda vez que um problema te pedir fluxo é porque ele na real quer que você resolva uma integral de superfície:

f l u x o = ϕ = ∯ S   B → ⋅ n →   d A

Onde S é a região retangular onde ele quer o fluxo do campo B .

Acho que você vai concordar comigo que dentro desse retângulo o campo magnético é sempre pra dentro devido à regra da mão direita...

A diferença é que os pontos mais próximos do fio terão um campo mais intenso (por isso as bolinhas estão mais escuras).

Bem, mas de uma coisa é certo, o n → representa o vetor normal unitário da superfície é sempre na mesma direção que o campo magnético. Ou seja, na direção saindo da sua tela. Então...

B → ⋅ n → = B ⋅ n

Como n é um versor (vetor unitário)...

ϕ = ∯ S   B   d A

Seria muito bom a gente tirar o campo magnético de dentro da integral, neh? Mas porque a gente não pode fazer isso?

ORA! Porque o campo muda de intensidade dentro da superfície retangular S . Saca? E ele muda a intensidade com a distância r . O valor do campo magnético para fio longo é...

ϕ = ∯ S   μ 0 I 2 π r   d A   →

ϕ = μ 0 I 2 π ∯ S   1 r d A

Para resolver essa integral aí, precisamos encontrar uma relação de d A com r .

Passo 3

Vamos considerar a região S como a soma de váaarios retângulosinhos de largura d r e comprimento l ...

Assim, pomos falar que a unidadezinha de área é...

d A = l   d r

E para formar a região S toda, a gente soma os retangulinhos começando de r = d a vai até r = d + w . Portanto...

ϕ = μ 0 I 2 π ∯ S   1 r d A   →

ϕ = μ 0 I 2 π ∫ d d + w 1 r l   d r     →

ϕ = μ 0 I l 2 π   ln ⁡ d + w - ln ⁡ d

Por propriedade de Log...

ϕ = μ 0 I l 2 π   ln ⁡ d + w d

Passo 4

Então, como comentamos no passo 1 ...

ϕ = M I   →

M I = μ 0 I l 2 π   ln ⁡ d + w d   →

M = μ 0 l 2 π   ln ⁡ d + w d

PRONTINHO! Essa daí é a indutância mútua!

Repare que se dobrar o tamanho de l , a indutância mútua dobra também, mas devido ao l n dobrar w ou reduzir d pela metade não é o suficiente para dobrar M , saca? Então a única alternativa correta é a letra E.

Resposta

Letra E.

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