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Exercícios Resolvidos de Indutores e Indutância

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Enunciado

Uma espira condutora quadrada de lado a e a resistência R está orientada paralelamente a um fio condutor infinito percorrido por uma corrente I , a uma distância d .

  1. Calcule a indutância mútua do sistema. Escolha a normal à espira no sentido positivo do eixo z . Obs: o campo magnético a uma distância r de um fio infinito percorrido por uma corrente I é μ 0 I / ( 2 π r ) .
  2. Para I = α t com α > 0 , calcule a corrente induzida na espira quadrada e determinar seu sentido. (justifique a sua resposta)

Passo 1

  1. Calcule a indutância mútua do sistema. Escolha a normal à espira no sentido positivo do eixo z . Obs: o campo magnético a uma distância r de um fio infinito percorrido por uma corrente I é μ 0 I / ( 2 π r ) .
  2. A definição de indutância mútua é:

    M = N 1 ϕ 1 i 2 = N 2 ϕ 2 i 1

    M = N ϕ B I

    Como se trata de apenas uma espira, N = 1 :

    M = ϕ B I

    A parada agora é calcular o fluxo do campo magnética.

    Passo 2

    ϕ B = ∫ B → ∙ d A →

    Onde d A = a d r e B = μ 0 I / ( 2 π r ) . Logo:

    ϕ B = μ 0 I a 2 π ∫ d d + a d r r

    ϕ B = μ 0 I a 2 π ln ⁡ d + a d

    Voltando para a fórmula da auto-indutância:

    M = ϕ B I

    M = μ 0 a 2 π ln ⁡ d + a d

    Passo 3

  3. Para I = α t com α > 0 , calcule a corrente induzida na espira quadrada e determinar seu sentido. (justifique a sua resposta)

Vamos achar primeiro o valor da corrente. De acordo com a Lei de Faraday:

ε = - ∂ ϕ B ∂ t

Onde:

ϕ B = μ 0 I a 2 π ln ⁡ d + a d

Logo:

ε = - μ 0 a 2 π ln ⁡ d + a d d I d t  

ε = - μ 0 a α 2 π ln ⁡ d + a d

Uma vez que encontramos a fem induzida, fica tranquilo de calcular a corrente induzida:

I = ε R

I = - μ 0 a α 2 π R ln ⁡ d + a d

Passo 2

Pra achar o sentido, primeiro a gente tem que saber pra onde aponta o campo magnético gerado pelo fio. Usando a regra da mão direita, com o polegar apontando pro sentido da corrente I , a gente conclui que o campo magnético que atravessa a espira aponta no sentido positivo de   z ^ . E como a corrente I aumenta com o tempo, esse campo também vai aumentar com o tempo, certo? Até aqui tranquilo?

Agora, pela Lei de Lenz:

O sentido de qualquer efeito de indução magnética é tal que ele se opõe à causa que produz esse efeito.

Pra que a indução magnética na espira se oponha à do fio, a corrente induzida tem que gerar um campo entrando no papel, no sentido negativo de z ^ . Pela regra da mão direita, se o campo induzido entra no papel, a corrente tem que estar no sentido horário!

Resposta

  1. M = μ 0 a 2 π ln ⁡ d + a d

I = - μ 0 a α 2 π R ln ⁡ d + a d ,   no sentido horário.

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