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Exercícios Resolvidos de Indutores e Indutância

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Enunciado

Considere um sistema composto por um fio retilíneo infinito e uma espira quadrada de lado a . O fio, que está colocado ao longo do eixo z de um sistema de referência, é percorrido por uma corrente I e gera um campo magnético dado por B → = μ 0 I ϕ ^ 2 π r , onde r é a distância até o fio.

(a) Calcule a indutância mútua entre o fio e a espira quando ela está colocada no plano y z , conforme a figura 1 .

(b) Calcule a indutância mútua entre o fio e a espira quando ela está colocada no plano x y , conforme a figura 2 .

(c) Suponha, agora, que a espira tem resistência R e que a corrente no fio varia no tempo como I t = α t 2 , onde α é uma constante positiva. Com a espira na posição indicada na figura 1 , calcule a corrente induzida na espira. Esta corrente circula a espira no sentido horário ou anti-horário? Justifique sua resposta.

Passo 1

(a) A autoindutância pode ser achada usando a seguinte expressão:

M = Φ I

Para achar o fluxo do campo magnético sobre a espira no plano y z , usamos:

Φ B = ∫ B → . d A → = ∫ b b + a μ 0 I 2 π r a d r

E então:

Φ B = μ 0 I a 2 π ln ⁡ a + b b

Pra achar a autoindutância, então:

M = μ 0 a 2 π ln ⁡ a + b b

Passo 2

(b) Quando a espira está no plano x y o fluxo magnético é nulo porque o campo magnético é perpendicular ao vetor área, ou seja, não há passagem de linhas de campo magnético através da superfície que é circulada pela espira. Portanto, a indutância é nula.

Passo 3

(c) A corrente induzida na espira quando ela está no plano y z é

I i n d = E i n d R

Podemos calcular a força eletromotriz induzida pela seguinte expressão(análoga à diferença de potencial de um indutor):

E i n d = M d I d t

Substituindo:

I i n d = M R d I d t

Fazendo a derivada da expressão para a corrente:

I i n d = μ 0 a α t R π ln ⁡ a + b b

Pela lei de Lenz, como o fluxo aumenta no tempo, a corrente tem que gerar um fluxo que contrapõe esse aumento, logo, o sentido da corrente é anti-horário.

Resposta

a) M = μ 0 a 2 π ln ⁡ a + b b

b) M = 0

c) I i n d = μ 0 a α t R π ln ⁡ a + b b , no sentido anti-horário.

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