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Exercícios Resolvidos de Indutores e Indutância

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Enunciado

Considere um fio infinito percorrido por uma corrente estacionária I . Coplanar com o fio está uma espira retangular de lados a e b e resistência R . A distância da espira ao fio infinito é D, conforme a figura.

Dado: O módulo do campo magnético produzido por um fio infinito num ponto P a uma distância r do fio é B = μ 0 I / ( 2 π r ) .

a ) Calcule o fluxo magnético sobre a área da espira.

b ) Calcule a mútua indutância do sistema fio-espira.

c ) Suponha que a espira é deslocada com velocidade v → constante paralelamente ao fio. Calcule o valor da corrente na espira.

d ) Suponha que a espira é afastada do fio com velocidade v → na direção perpendicular a esse fio. Calcule a força eletromotriz induzida e a corrente na espira no instante em que a distância da espira ao fio é x . Determine o sentido da corrente induzida (horário ou anti-horário), justificando sua resposta.

Passo 1

a ) Calcule o fluxo magnético sobre a área da espira.

Por definição, o fluxo magnético é dado por:

ϕ B = ∬ S   B → ∙ d A →

O problema já nos disse que o campo magnético a uma distância x do fio é

B = μ 0 I 2 π x

Assim, como o campo magnético varia apenas com a distância do fio, o elemento d A será

d A = b   d x

Onde D < x < D + a

Voltando para a expressão do fluxo magnético, teremos:

ϕ B = ∫ D D + a μ 0 I 2 π x   b   d x = μ 0 I b 2 π ∫ D D + a d x x

Integrando esse cara, teremos:

ϕ B = ∫ D D + a μ 0 I 2 π x   b   d x = μ 0 I b 2 π ln ⁡ x D D + a

ϕ B = μ 0 I b 2 π ln ⁡ D + a D

Passo 2

b ) Calcule a mútua indutância do sistema fio-espira.

Por definição, a indutância mútua entre duas espiras é dada por:

M = N 1 ϕ 1 i 2 = N 2 ϕ 2 i 1

Nesse caso, a indutância mútua será dada por:

M = ϕ B I

Obs: Como não temos mais de um enrolamento na espira, N = 1 .

Substituindo a expressão de ϕ B que calculamos no item anterior, teremos:

M = μ 0 I b 2 π ln ⁡ D + a D I

M = μ 0 b 2 π ln ⁡ D + a D

Passo 3

c ) Suponha que a espira é deslocada com velocidade v → constante paralelamente ao fio. Calcule o valor da corrente na espira.

Para que surja uma corrente induzida, é necessário que apareça uma f e m induzida. A f e m induzida é determinada pela Lei de Faraday, dada por:

ε = - ∂ ϕ [ B ] ∂ t

Entretanto, como a espira está sendo deslocada paralelamente ao fio, não há variação do fluxo magnético, que só aconteceria se a espira estivesse se deslocando perpendicularmente ao fio.

Logo:

∂ ϕ B ∂ t = 0

ε = 0

Finalmente:

I i n d = ε R = 0

Passo 4

d ) Suponha que a espira é afastada do fio com velocidade v → na direção perpendicular a esse fio. Calcule a força eletromotriz induzida e a corrente na espira no instante em que a distância da espira ao fio é x . Determine o sentido da corrente induzida (horário ou anti-horário), justificando sua resposta.

Agora sim, podemos começar a conversar.

Como dissemos anteriormente, a f e m   induzida será dada por:

ε = - ∂ ϕ B ∂ t

Então vamos começar escrevendo a expressão do fluxo magnético na espira. A expressão é a mesma que calculamos na letra a , a única diferença é que, ao invés de D , a distância entre o fio e a espira será x . Logo:

ϕ B = μ 0 I b 2 π ln ⁡ x + a x

Ajeitando esse cara, teremos:

ϕ B = μ 0 I b 2 π ln ⁡ x + a - ln ⁡ x

Agora sim! A f e m induzida será dada por:

ε = - ∂ ∂ t μ 0 I b 2 π ln ⁡ x + a - ln ⁡ x

ε = - μ 0 I b 2 π ∂ ∂ t ln ⁡ x + a - ln ⁡ x

ε = - μ 0 I b 2 π 1 x + a d x d t - 1 x d x d t

ε = - μ 0 I b 2 π 1 x + a v - 1 x v

ε = - μ 0 I b v 2 π 1 x + a - 1 x

ε = - μ 0 I b v 2 π - a x x + a

ε = μ 0 I b a v 2 π x x + a

Passo 5

A corrente induzida será dada por:

I i n d = ε R

Substituindo a expressão de ε que acabamos de calcular, teremos:

I i n d = μ 0 I b a v 2 π R x x + a

Passo 6

Para determinar o sentido da corrente induzida, vamos ter que recorrer à Lei de Lenz, que diz que:

O sentido de qualquer efeito de indução magnética é tal que ele se opõe à causa que produz esse efeito.

Mas basicamente o que nós precisamos tirar disso é que:

Se o fluxo do campo magnético está aumentando, o campo induzido tenta atrapalhar ele. Se o fluxo está diminuindo, o campo induzido tenta ajudar ele.

Ok! O fluxo do campo magnético é dado por:

ϕ B = μ 0 I b 2 π ln ⁡ x + a x

O campo magnético está entrando na página, portanto.

∂ ϕ B ∂ t = - μ 0 I b a v 2 π x x + a

Como x > 0 :

∂ ϕ B ∂ t < 0

Como o fluxo do campo magnético está diminuindo, o campo induzido vai tentar ajuda-lo, logo, deve estar na mesma direção e sentido do campo magnético gerado pelo fio na espira.

Como o campo gerado pelo fio na espira está entrando na página, o campo magnético induzido deve estar entrando na página também.

Para que a corrente induzida gere um campo entrando na página, ela deve estar no sentido horário.

Resposta

a )

ϕ B = μ 0 I b 2 π ln ⁡ D + a D

b )

M = μ 0 b 2 π ln ⁡ D + a D

c )

I i n d = 0

d )

ε = μ 0 I b a v 2 π x x + a

I i n d = μ 0 I b a v 2 π R x x + a

A corrente induzida está no sentido horário.

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